Usikkerhedsbegrebet - fra idé til virkelighed
|
|
- Erling Kristensen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Usikkerhedsbegrebet - fra idé til virkelighed 1 af Per Bennich PB Metrology Consulting 1 Indledning Usikkerhed er i dag et velkendt begreb i forbindelse med måling og måleresultater. GUM (DS/ENV Guide to the expression of Uncertainty in Measurement) har introduceret og fastlægger den moderne forståelse af måleusikkerhedsbegrebet, og hvordan måleusikkerheden kan estimeres på et helt teoretisk plan. PUMA (DS/ISO/TS Procedure for Uncertainty MAnagement) har introduceret en industriel metode til usikkerhedsestimering baseret på GUM. Vi befinder os i GPS-området! (Geometriske Produktspecifikationer), dvs. tolerancesætning af mekaniske emner på fx. tekniske tegninger samt den tilhørende fremstilling og verifikation (måling/eftervisning) af de virkelige emner/produkter. GPS området varetages internationalt af ISO/TC 213 og CEN/TC 290 og nationalt i Danmark af udvalget DS/S4. GPS er en videreudvikling og komplettering af den traditionelle måde at tolerancesætte produkter på fx tekniske tegninger eller i CAD-filer. GPS er et entydigt kommunikationssprog for emners dimensioner og geometri, hvor ikke kun tegningens specifikationer af emnet er dækket - men hvor målemetoder og -udstyr er en integreret del af helheden. GPS kan i langt højere grad end den traditionelle tolerancesætning simulere/emulere emnernes ønskede funktion. Idé/design intent "Ønsket funktion" Funktion af det virkelige produkt Figur 1 - Udvikleren/konstruktøren er egentlig ikke interesseret i tegninger osv. - kun at idéen og den ønskede funktion fremkommer i det virkelige produkt Tegningen med dens tolerancesætning er en nødvendighed, som egentlig ikke er ønsket (se figur 1). Idéer - forestillinger om en ønsket funktion - kan ikke umiddelbart anvendes som et produktionsgrundlag. Idéerne - den ønskede funktion af emnet - skal oversættes til GPS på en tegning, som så kan anvendes som grundlag for en fremstilling og som grundlag for verifikationen (målingen), som indgår i styringen af produktets kvalitet (se figur 2). Tegningen bliver som følge af den stadig stigende anvendelse af underleverandører og den hurtigt voksende globalisering, stadig mere og mere betydningsfuld som et både juridisk og teknisk dokument - kontrakten der sikrer at emnerne fungerer uanset hvem der fremstiller emnerne og hvor på kloden det foregår. Som den kontrakt tegningen er, skal den være entydig - ingen usikkerhed om hvad den kræver. 2 Usikkerhed som generelt begreb og værktøj i GPS-området Alle led fra Idé til virkelighed er behæftet med usikkerhed (se figur 2). Erfaringen viser, at de generelle principper, som er givet i GUM også kan anvendes på de andre led. Som illustreret på figur 2 er der tre nye usikkerheder - udover måleusikkerheden U MÅ : U KOR - Korrelationsusikkerheden U SP - Specifikationsusikkerheden U PR - Fremstillingsprocessens usikkerhed
2 2 Forskel: U KOR "Over- Idé/design intent sæt- Specifikationer Produktion/processer telse" Kun geometriske Alle kommunikationsmidler er brugbare/muligcifikationer og materiale spe- Skal følge specifikationen Verifikation Skal udføres i overensstemmelse med specifikationen Idéen (om produktfunktionen) kan ikke umiddelbart anvendes til at styre fremstillingen med. Den skal reformuleres/ oversættes. Juridisk grundlag!! Specifikationerne har en inhærent u- sikkerhed, som karakteriserer den enkeltespecifikations "kvalitet": U SP Produktionsprocesserne har hver især en inherænt usikkerhed, som beskriver den enkelte proces's variabilitet: U PR Verifikationsprocesserne har hver især en inhærent usikkerhed, som beskriver den enkelte verifikationsproces's kvalitet relativ til den tilsvarende specifikation: U MÅ Figur 2 - Illustration af den industrielle proces fra idé til eftervisningen af det virkelige emnes egenskaber - Alle led i denne proces har en inhærent usikkerhed!!! Figur 2 giver en kort forklaring på de fire usikkerheder. En udvidet forklaring gives i det følgende. Hele terminologien til dette koncept vil blive offentliggjort i ISO/TS og ISO/TS , der teknisk er færdige og godkendte i ISO/TC 213, men blot mangler den endelige editering og udgivelse. 2.1 Korrelationsusikkerheden - U KOR Korrelationsusikkerheden er et mål for den totale tegnings evne til at sikre at den ønskede funktion af produktet er sikret af tegningen. En tegning, der i høj grad sikrer emnefunktionen har en lav korrelationsusikkerhed. En primitiv tegning har en høj korrelationsusikkerhed. + Tolerancesætning Funktion sikret?? Figur 3 - Korrelatiosusikkerheden U KOR er et mål for i hvor høj grad tegningen og dens tolerancesætning sikrer den på idéstadiet ønskede emnefunktion Korrelationsusikkerhed må indtil videre blot tages som et begreb, der er praktisk at have, når hele denne totale usikkerhedsfilosofi skal kunne fungere. Det vil aldrig blive generelt muligt, at tillægge korrelationsusikkerheden en bestemt værdi.
3 3 2.2 Specifikationsusikkerhed - U SP Specifikationsusikkerhed er normalt forekommende når tegningen er tolerancesat på traditionel måde med omfattende anvendelse af dimensionstolerancesætning. Ø30 ± 0,2 ØD? Resultater af mulige diameter tolkninger U Specification Diameter Figur 4 - Specifikationsusikkerheden U SP skyldes en mangelfuld specifikation/tolerancesætning på tegningen. Der er flere mulige tolkninger af tolerancen, som giver systematisk forskellige værdier Dimensionstolerancesætning fungerer kun uden specifikationsusikkerhed, hvis emnets form og vinkelfejl er meget små sammenlignet med de anvendte tolerancers størrelse. En specifikation kan være mangelfuld (uklar), så den medfører usikkerhed af flere årsager. Der kan være mangler i GPS sproget. GPS sproget kan anvendes forkert. GPS sproget anvendes slet ikke, men tegningen er tolerancesat udelukkende på traditionel vis. Der findes en del eksempler på, at man er klar over, at tegningen ikke er helt i orden. I stedet for at reparere tegningen fastlægger man en (oftest) primitiv/enkel målemetode, som et alternativ. Denne fremgangsmåde er lige så utilstrækkelig som tegningen. 2.3 Produktionsprocessens usikkerhed - U PR Enhver produktionsproces vil medføre emner, hvis geometriske egenskaber varierer. Denne variabilitet kan udtrykkes som en usikkerhed (i GUM forstand), der normalt vil være forskellig for hver tolerancesat egenskab på tegningen. ØD 1 ØD 2 ØD 3 ØD 4 ØD 5 ØD N N Figur 5 - Produktionsprocessens usikkerhed U PR er et mål for én emneegenskabs variabilitet - her illustreret ved en diameter som egenskab
4 2.4 Måleusikkerhed 4 Måleusikkerheden er et velkendt fænomen. Det er væsentligt at slå fast, at måleusikkerhed er en egenskab ved måleresultatet, der er resultat af en måleproces (verifikationsoperator). Udgangspunktet for estimeringen af måleusikkerheden er den korrekte målestørrelse (measurand). I GPS-området er målestørrelsen fastlagt af tegningsspecifikationen (specifikationsoperatoren). Hvis tegningens specifikation har usikkerhed skal måleprocessen VÆLGES som en fysisk implementering af én specifikationsoperator indenfor den mulige/tilladte tolkning af tegningsangivelsen. Pas på!!! - specifikationsusikkerheden kan aldrig blive målingens og måleresultatets problem. Ansvaret for specifikationsusikkerheden ligger hos konstruktionsfunktionen. Måleusikkerheden og kun den kan lastes målefunktionen. At tegningen ikke præcist fortæller hvordan der skal måles, det er ikke målefunktionens problem mm Figur 6 - Måleusikkerheden U MÅ er et mål for måleresultatets kvalitet 3 Virkningen af de mange usikkerheder Når de tre usikkerheder U SP, U PR og U MÅ er kommet til verden ud fra de samme principper, er deres talværdier direkte sammelignelige og kan når det er formålstjenligt også lægges sammen efter normale principper for addition (i GUM forstand) af usikkerheder. Der findes på nuværende tidspunkt kun formelle regler for hvordan måleusikkerheden skal tages med i vurderingen, når fx et emnes overensstemmelse eller ikke-overensstemmelse med en givet specifikation skal bevises. Der kommer formelle regler for, hvordan specifikationsusikkerheden på samme måde skal indgå, når beviser skal etableres. Anlægges der simple tekniske betragtninger kan man se (figur 7), at alle de tre usikkerheder U SP, U PR og U MÅ æder af en tolerance på nøjagtigt samme måde. Det er altså underordnet, om det er specifikationen, fremstillingsprocessen eller måleprocessen, der giver anledning til usikkerhed, konsekvensen er den samme. Der kan på figur 7 ses en betingelse, for at det overhovedet er muligt - med sikkerhed - at kunne fremstille et emne med overholdelse af en givet tolerance, dvs, så der bliver et toleranceoverskud. Af disse simple betragtninger kan det udledes, at det rent teknisk er underordnet, hvilke af de tre usikkerheder (U SP, U PR og U MÅ ) man vælger at gøre mindre, hvis summen af de tre er for stor til den tolerance der er givet. Da det teknisk er underordnet hvilken usikkerhed man reducerer (eller evt. gør større), så er det rigtige kriterium, at det er den usikkerhed, der er billigst at reducere - rent økonomisk - som skal reduceres. I mange tilfælde kan der være meget stor forskel på størrelsen af de tre usikkerheder. Det hænder at man (kvalitetsstyrer) de små usikkerheder, og slet ikke har fået øje på den store - især når det er specifikationsusikkerheden, der er meget større end de andre.
5 Specifikation (Specifikationsusikkerhed) U PR U PR Procesfordeling (Procesusikkerhed) Målt værdi (Måleusikkerhed) U SP U SP U SP U SP 5 U MÅ U MÅ Tolerance = T LSL USL Betingelse: T > 2 x ({U SP } + {U PR } + {U MÅ }) "Toleranceoverskud": T - 2 x ({U SP } + {U PR } + {U MÅ }) 2 x ({U SP } + {U PR } + {U MÅ }) Tolerance = T LSL USL Figur 7 - De tre usikkerheder U SP, U PR og U MÅ, de påvirker alle tre de muligheder, der er for at frem-stille et produkt med en givet talmæssig tolerance 4 Eksempel - Simpelt emne med kendt funktion For at se hvordan usikkerhederne fungerer i praksis er der lavet et overskueligt og simpelt eksempel. Ø30 60 Figur 8 - Illustration af det nominelle emne, som ønskes fremstillet
6 Opgaven er at fremstille et antal små stålcylindre, som nominelt er vist på figur 8. For at kunne fremstille en tegning med en meningfyldt tolerancesætning, er det nødvendigt at kende emnets detaljerede funktion. Hvordan skulle man ellers vælge specifikationer og toleranceværdier? 6 60 Ø30 Figur 9 - Skitse, der illustrerer funktionskravene til emnet vist på figur 8 Figur 9 viser hvordan cylindrene skal fungere. De skal kunne ligge løst (men ikke for løst) i et cylindrisk hul, som er lukket plant i begge ender. + 0 Ø30-0, ,5 Figur 10 - Emnetegning - udelukkende med anvendelse af ± dimensionstolerancesætning Figur 10 viser en traditionel tegning af cylinderen, tolerancesat udelukkende med ± dimensionstolerancer, som erfaringsmæssigt mere end 90% af alle brugere af tegninger vil udføre tolerancesætningen. Figur 11 viser et fremstillet emne, som opfylder tegningskravene på figur 10. Det er klart fra illustrationen på figur 11, at der er en vinkelfejl mellem endefladerne og cylinderaksen, som ikke er tolerancesat på tegningen. Endefladerne er iøvrigt parallele. Det er en typisk effekt af en traditionel ± dimensionstolerancesætning. En sådan tolerancesætning giver anledning til specifikationsusikkerhed. Den virker kun med lille specifikationsusikkerhed, når emnet svarer til tegningens nominelle (geometrisk perfekte) billede, hvor cirkler er cirkler og linier og flader har perfekt geometri samtidig med at alle vinkler mellem elementer er nominelt perfekte. Jo større form og vinkelafvigelserne er fra det perfekte - på det virkelige emne - jo større bliver specifikationsusikkerheden.
7 Emner i farezonen (stor specifikationsusikkerhed) ved denne tolerancesætning er typisk emner med STORE tolerancer, nemlig de, der frembringes med processer, der ikke er særligt præcise. Sikre typiske eksempler er plastemner og pladeemner. men også spåntagne emner falder ofte i denne kategori 7 59,7 Ø29,85 Figur 11 - Emne, som opfylder tegningskravene på figur 10, men som ikke opfylder funktionskravene (se figur 12) Figur 12 illustrerer, hvad der er galt med emnerne, der kan godkendes efter tegningens krav, uden at de kan fungere. Der findes en radikal løsning på dette problem, som er vidt udbredt. Anvend endnu mere sikre tolerancer. Ofte betyder det mindre tolerancer end nødvendigt. I de fleste tilfælde betyder det endda dårligere funktion end hvis tolerancesætningen var udført mere funktionskorrekt og med større tolerancer. Problem!!! 60 Problem Ø30 Figur 12 - Illustration af, at emnet på figur 11 ikke opfylder funktionskravene illustreret på figur 9 Næste trin i udviklingen er at supplere/reparere ± dimensionstolerancesætningen med én eller flere geometriske tolerancer efter ISO 1101 (også benævnt Form- og positionstolerancer), uden at ændre grundlæggende i den eksisterende tegnings tolerancesætningsprincipper. Herved fremkommer en hybrid tolerancesætning, som ikke nødvendigvis er meget bedre. Den hybride tolerancesætning har med garanti et nyt problem. Der er nu to helt uafhængige tolerancesystemer uden forbindelse. Det kan også skabe hovsa-oplevelser, når de to systemer forskyder sig for hinanden pga. ikke styrede geometriske fejl, som kan forekomme på de fremstillede emner. Figur 13 viser en tegning, der grundlæggende er den der er vist på figur 10, men suppleret med to vinkelrethedskrav til endefladerne i forhold til cylinderaksen. Men hvad nu hvis det ikke er en perfekt cylinder, men en cylinder af form som en vredet banan, så begynder det hele forfra igen. Flere supplerende geometriske krav, nye overraskelser, osv.
8 8-0,2 60-0,5 A + 0 Ø30-0,25 0,1 A Figur 13 - Emnetegning, hvor ± dimensionstolerancesætningen er suppleret med geometriske tolerancer Den eneste sunde løsning er at ændre grundlaget for tolerancesætningen og anvende de muligheder der i dag eksisterer i GPS-systemet. 5 Usikkerhed som generelt optimeringsværktøj Usikkerhedsbegrebet udvidet til at omfatte specifikationen på tegningen og fremstillingsprocessen er et generelt teknisk og økonomisk optimeringsværktøj, der står til rådighed. Grundlæggende er der mulighed for at placere ansvar hos de relevante personer/funktioner for eventuelle usikkerheder, som belaster produktet enten teknisk eller økonomisk - ofte begge dele. Specifikationsusikkerheden bliver stor, når tegningernes tolerancesætning ikke er hensigtsmæssig. Ansvaret for specifikationsusikkerheden er hos den tegningsudførende afdeling i virksomheden Produktionsprocessernes usikkerhed bliver stor, når de valgte processer og/eller procesudstyret ikke er hensigtsmæssigt. Ansvaret er hos produktionsafdelingen eller evt. underleverandøren. Måleusikkerheden bliver stor, når de valgte målemetoder, mv. ikke er hensigtsmæssige. Ansvaret er i måleafdelingen eller hvem, der nu forestår målingerne og udstyret. De enkelte usikkerheders størrelse kan set fra toppen af pyramiden i virksomheden anvendes som en indikator for, hvor der skal sættes ind - resourcemæssigt - for at nedbringe den samlede værdi af de tre usikkerheder. Vær opmærksom på, at denne optimering ikke må forgå alene i SI-enheder. Der skal oversættes til penge-enheder for at få det korrekte billede frem.
GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode
GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig
Læs mereGPS Update! Geometriske Produkt Specifikationer. GPS - Kommunikations-sproget mellem kunde og leverandør
FVM TEMADAG Onsdag den 25. januar 2012! Geometriske Produkt Specifikationer GPS - Kommunikations-sproget mellem kunde og leverandør GPS - Kommunikations-sproget mellem konstruktøren og produktion eller
Læs mere1. Formålet med en (teknisk) tegning
1 1. Formålet med en (teknisk) tegning Hvorfor laver man en tegning af et emne og et helt sæt tegninger af et produkt? En tegning består som regel af et nominelt billede af geometrien, et antal nominelle
Læs mereStiller GPS nye krav til måleprocessen
Stiller GPS nye krav til måleprocessen 1 JA!!! - GPS (GPS-matrix systemet) stiller helt nye krav til måleteknikken, som ikke har eksisteret før og GPS gentager og forstærker andre gamle krav til måleteknikken
Læs mereNaturstyrelsens Referencelaboratorium for Kemiske Miljømålinger NOTAT
Naturstyrelsens Referencelaboratorium for Kemiske Miljømålinger NOTAT Til: Brugere af Bekendtgørelse om kvalitetskrav til miljømålinger udført af akkrediterede laboratorier, certificerede personer mv.
Læs mereGPS - Geometriske Produkt Specifikationer - GPS-matrix systemet
GPS - Geometriske Produkt Specifikationer - GPS-matrix systemet Hvorfor dette GPS-hefte? GPS er for mange noget nyt og ukendt. I dette GPS-hefte kan du læse om, hvad GPS er, hvilke fordele GPS medfører
Læs mere1. Værktøjerne - Indledning
1 1. Værktøjerne - Indledning Alle ved i dag hvad usikkerhed er: En kvalitetsangivelse for en talværdi! Usikkerheder kan ikke regnes ud, de kan kun estimeres! Usikkerheden betegnes med U. Alle har hørt
Læs merewww.bennich.dk Alle har hørt om usikkerhedsbudgetter: En formelt opstillet dokumentation for en estimeret usikkerhed!
1. Indledning Alle ved i dag hvad usikkerhed er: En kvalitetsangivelse for en talværdi! Usikkerheder kan ikke regnes ud, de kan kun estimeres! Usikkerheden betegnes med U. Alle har hørt om usikkerhedsbudgetter:
Læs mereGPS Diplomkurser - Planlæg GPS-uddannelsen
GPS Diplomkurser - Planlæg GPS-uddannelsen Oversigt over kurser og andre faglige tilbud indenfor området Geometriske Produkt Specifikationer (GPS), der udbydes i samarbejde mellem Dansk Standard (DS) og
Læs mereOverfladebeskaffenhed Benævnelser og definitioner
Overfladebeskaffenhed Benævnelser og definitioner Indledning Ved alle former for spåntagende bearbejdning fremkommer der en ruhed på emnet. Ruhedens størrelse Ruhedens størrelse er afhængig af den valgte
Læs mere1. Et teknisk problem - der også kan have juridiske konsekvenser
1 1. Et teknisk problem - der også kan have juridiske konsekvenser Udgangspunktet for måling af et emnes overfladeegenskaber er den specifikation - det krav - der er angivet på tegningen, hvis der da findes
Læs mereHenrik Strøbæk Nielsen GPS. Geometriske produktspecifikationer på tekniske tegninger. Bogen. Erhvervsskolernes Forlag
Henrik Strøbæk Nielsen GPS Geometriske produktspecifikationer på tekniske tegninger Bogen Erhvervsskolernes Forlag GPS-Bogen -en vejledning i geometriske produktspecifikationer på tekniske tegninger 1.
Læs mereUSIKKERHEDSBUDGETTER
UIKKERHEDBUDGETTER MED HOVEDET UNDER ARMEN? REGNER VI MÅLEUIKKERHEDEN UD PÅ DET, OM VI EGENTLIG HAR BRUG FOR AT VIDE? KAN OFTWARE HJÆLPE O MED AT GØRE DE RIGTIGE TING? KAN OFTWARE KABE TØRRE LØNOMHED I
Læs mereDenne indholdsfortegnelse henviser til de fortløbende sidenumre, som er angivet forneden på hver side.
Indhold - 1 Indholdsfortegnelse Denne indholdsfortegnelse henviser til de fortløbende sidenumre, som er angivet forneden på hver side. I hvert afsnit findes en mere detaljeret lokal indholdsfortegnelse,
Læs mereInfoblad. ISO/TS 16949 - Automotive
Side 1 af 5 ISO/TS 16949 - Automotive Standarden ISO/TS 16949 indeholder særlige krav gældende for bilindustrien og for relevante reservedelsvirksomheder. Standardens struktur er opbygget som strukturen
Læs mere07-12-2015. Måleusikkerhed. FVM temadag, 1. oktober 2015, Hotel Koldingfjord
Måleusikkerhed FVM temadag, 1. oktober 2015, Hotel Koldingfjord 1 Baggrund Teknologisk Institut Selvejende, almennyttigt, non-profit GTS-institut 1000+ medarbejdere fordelt på MANGE forskellige områder
Læs mere1. Tegningen er en kontrakt skrevet i symbolsprog
1 1. Tegningen er en kontrakt skrevet i symbolsprog En teknisk tegning er en (teknisk/juridisk) kontrakt. Tegningens geometriske krav til bl.a. overfladerne på emnet skal opfyldes af producenten. Kravet
Læs mereF-dag om geometri. Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade
F-dag om geometri Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade I foråret fejrede Canada at landet havde eksisteret som nation i 150 år. I den anledning blev der fremstillet et logo, der tog afsæt i
Læs mereDE BEAR TECHNOLOGY. o Processer, metoder & værktøjer. e-mail: info@dbtechnology.dk WWW.DBTECHNOLOGY.DK
Mission Critical o Projekt Information management o Processer, metoder & værktøjer. Side 1 of 11 Projekt information Projekt information management inkluderer alle de processer, som er nødvendige for at
Læs mereListe over aktuelle og kommende standarder
Danske og internationale standarder Statiske metoder 1/11 Liste over aktuelle og kommende standarder Dette dokument indeholder en opdateret liste over alle de danske og internationale standarder på det
Læs mereKURSER I GEOMETRISK PRODUKTSPECIFIKATION (GPS) OG 3D-KOORDINATMÅLEMASKINE
KURSER I GEOMETRISK PRODUKTSPECIFIKATION (GPS) OG 3D-KOORDINATMÅLEMASKINE ATTRAKTIVE KURSER TIL DIG HVAD ER GEOMETRISK PRODUKT- SPECIFIKATION (GPS)? GPS-teknologien er et fælles tolerancesætningssprog
Læs mereGeometri i plan og rum
INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af
Læs mereOversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Ræsonnement og tankegang. Modellering
MULTI 6 Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Faglig læsning og skrivning Eleven kan anvende forskellige strategier til matematisk problemløsning
Læs mereNewton-Raphsons metode
Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...
Læs mere3. klasse 6. klasse 9. klasse
Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning
Læs mereSelam Friskole Fagplan for Matematik
Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt
Læs mereBilag 1. Om læsning og tolkning af kort udformet ved hjælp af korrespondanceanalysen.
Bilag 1. Om læsning og tolkning af kort udformet ved hjælp af korrespondanceanalysen. Korrespondanceanalysen er en multivariat statistisk analyseform, som i modsætning til mange af de mere traditionelle
Læs mereEvaluering af matematik undervisning
Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om
Læs mereDimensionstolerancer. Definition af tolerance. Nominelt mål. Fordele ved anvendelse af tolerancer. Dimensionstolerancer
Dimensionstolerancer Definition af tolerance Standardisering Tolerancen på et tegningsmål angiver, at emner, der fremstilles efter tegningen, skal have et mål, der ligger inden for det af målet og tolerancen
Læs mereBestemmelse af dimensioner for armerede elementer af autoklaveret letbeton uden tilslag og letklinkerbeton med porøse tilslag
Dansk standard DS/EN 991 2. udgave 2004-04-27 Bestemmelse af dimensioner for armerede elementer af autoklaveret letbeton uden tilslag og letklinkerbeton med porøse tilslag Determination of the dimensions
Læs mereMatematik samlet evaluering for Ahi Internationale Skole
efter 3.klasse. e efter 6.klasse. e Skole efter 9.klasse. e indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik (tankegangskompetence formulere sig skriftligt og mundtligt
Læs mereVIGTIGT - Korrektion vedr. medicinsk udstyr Brilliance CT-systemer og Gemini- og Precedence-systemer, der anvender Brilliance CT
CT/AMI -1/2- FSN 72800599_88200461 15. maj 2013 Problemer med CTDI vol -faktorer på Philips CT-systemer Kære kunde, Der er konstateret et problem på Philips Gemini- og Precedence-systemer, der anvender
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereOn site teknikker Kalibrering af korte følere
Måletekniske Dage d. 31-05-2012 On site teknikker Kalibrering af korte følere Abstract og problematik: I forbindelse med procesanlæg inden for specielt den farmaceutiske og fødevareindustri, er det en
Læs mereMatematikprofilen, 3. klasse
Kategori 1 - Begyndt Problembehandling Modellering Ræsonnement og tankegang Repræsentation og symbolbehandling Kommunikation Hjælpemidler Tal og algebra Hvis elever i denne kategori har opnået point, er
Læs mereUndervisningsplan for matematik
Undervisningsplan for matematik Formål for faget Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt
Læs mereFormativ brug af folkeskolens prøver årets resultater på landsplan Den skriftlige prøve i matematik med hjælpemidler, FP9 maj 2019
Formativ brug af folkeskolens prøver årets resultater på landsplan Den skriftlige prøve i matematik med hjælpemidler, FP9 maj 2019 Skrevet af Klaus Fink på baggrund af oplysninger fra opgavekommissionen
Læs mereEleverne skal lære at:
PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT
STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve
Læs mereEmne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter
Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse
Læs mereTal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET
I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereMatematik. Matematiske kompetencer
Matematiske kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers
Læs mereFaglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer. Læringsmål Faglige aktiviteter. Evaluering.
Fag: Matematik Hold: 27 Lærer: Jesper Svejstrup Pedersen Undervisnings-mål 9 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer ITinddragelse Evaluering 32-37 i arbejdet med geometri at benytte
Læs mereVelkommen til lidt GPS IDA
Velkommen til lidt GPS IDA 31-10-2017 GPS?? Hvad er GPS? GPS betyder: Geometriske GPS kan tolkes: Form Produkt Funktion Specifikationer Krav Konstruktionsafdeling Produktionsafdeling Hvorfor skal man
Læs mereTrekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Læs mereMULTI 6 Forenklede Fælles Mål
MULTI 6 Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklende Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Faglig læsning og skrivning Eleverne kan anvende forskellige strategier til matematisk
Læs mereLÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15
LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin
Læs mere1. Verifikation og kalibrering - Indledning
1 1. Verifikation og kalibrering - Indledning Der anvendes to forskellige måder til at karakterisere egenskaberne i et måleudstyr: S Leverandørspecifikationen for udstyrets egenskaber (Supplier performance
Læs mereOversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering
MULTI 5 Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Faglig læsning Opmærksomhedspunkt Eleven kan anvende ræsonnementer i undersøgende arbejde
Læs mereInfoblad. IATF Automotive
Side 1 af 5 IATF 16949 - Automotive Standarden IATF 16949 indeholder særlige krav gældende for bilindustrien og for relevante reservedelsvirksomheder. Standardens struktur er opbygget som strukturen i
Læs mereÅrsplan for matematik 2012-13
Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder
Læs mereMatematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling )
Matematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling ) Kompetenceområde Klassetrin Faser 1 Eleven kan kategorisere Efter klassetrin Eleven kan anvende geometriske begreber og måle Eleven kan kategorisere
Læs mereOversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering
MULTI 4 Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Faglig læsning undersøgende arbejde Eleven kan læse og skrive enkle tekster med og om matematik
Læs mereMatematik Delmål og slutmål
Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse
Læs mereEn cykel - inspiration til undervisningsforløb med fokus på progression i matematik (evt. tværfagligt m. natur/teknologi)
En cykel - inspiration til undervisningsforløb med fokus på progression i matematik (evt. tværfagligt m. natur/teknologi) Fælles Mål Stofområde: Geometri og Måling - geometriske egenskaber og sammenhænge
Læs mereEpidemiologi og Biostatistik
Kapitel 1, Kliniske målinger Epidemiologi og Biostatistik Introduktion til skilder (varianskomponenter) måleusikkerhed sammenligning af målemetoder Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge, torsdag
Læs mereMåleusikkerhed. Laboratoriedag 9. juni 2011
Måleusikkerhed..alle usikkerhedskomponenter af betydning for den foreliggende situation tages i betragtning ved, at der foretages en passende analyse (ISO 17025, pkt 5.4.6.3) Laboratoriedag 9. juni 2011
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereResidualer i grundforløbet
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Residualer i grundforløbet I dette lille tillæg til grundforløbet, skal vi kigge på begreberne residualer, residualplot samt residualspredning. Vi vil se, hvad
Læs mereMATEMATIK. Formål for faget
MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereAnvendelse af matematik til konkrete beregninger
Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne
Læs mereFørste del af rapporten består af et diagram, der viser, hvor mange point eleverne på landsplan fik i de enkelte opgaver.
Til matematiklæreren Dette er en rapport omtaler prøven med hjælpemidler maj 2016. Rapporten kan bruges til at evaluere dit arbejde med klassen og få ideer til dit arbejde med kommende klasser i overbygningen.
Læs mereAnalyse af måledata II
Analyse af måledata II Usikkerhedsberegning og grafisk repræsentation af måleusikkerhed Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium Forfatteren gennemgår grundlæggende begreber om måleusikkerhed på fysiske
Læs mereUser s guide til cosinus og sinusrelationen
User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mereMaxiMat og de forenklede Fælles mål
MaxiMat og de forenklede Fælles mål Dette er en oversigt over hvilke læringsmål de enkelte forløb indeholder. Ikke alle forløb er udarbejdet endnu, men i skemaet kan man se alle læringsmålene også de,
Læs mereProjekter skal ikke styres de skal ledes Microsoft-seminar
Projekter skal ikke styres de skal ledes Microsoft-seminar Frank Madsen PA Consulting Group 17. april 2007 Hvor moden er din virksomhed? Taktiske projekt gennemførelser Styret ProjektPortefølje Projektinitiering
Læs mereKan unge med dårlige læsefærdigheder. ungdomsuddannelse? Arbejdspapir Socialforskningsinstituttet The Danish National Institute of Social Research
Kan unge med dårlige læsefærdigheder gennemføre en ungdomsuddannelse? Dines Andersen Børn, integration og ligestilling Arbejdspapir 1:2005 Arbejdspapir Socialforskningsinstituttet The Danish National Institute
Læs mereSkolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål:
Formål: Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i forstå og anvende matematik i sammenhænge,
Læs mereOrdbog Biologi Samfundsfag Kemi: Se bilag 1 Matematik: Se bilag 2
Fremstillingsformer Fremstillingsformer Vurdere Konkludere Fortolke/tolke Diskutere Ordbog Biologi Samfundsfag Kemi: Se bilag 1 Matematik: Se bilag 2 Udtrykke eller Vurder: bestemme På baggrund af biologisk
Læs mereVurderingsprincipper i DDKM af 2015 for kommuner Vejledning til surveyors og Akkrediteringsnævnet November 2015
Vurderingsprincipper i DDKM af 2015 for kommuner Vejledning til surveyors og Akkrediteringsnævnet November 2015 Institut for Kvalitet og Akkreditering i Sundhedsvæsenet Kommuner: Vurderingsprincipper kortfattet
Læs mereMatematik interne delprøve 09 Tesselering
Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der
Læs mereFormativ brug af folkeskolens prøver årets resultater på landsplan Den skriftlige prøve i matematik FP10 maj 2019
Formativ brug af folkeskolens prøver årets resultater på landsplan Den skriftlige prøve i matematik FP10 maj 2019 Skrevet af Klaus Fink på baggrund af oplysninger fra opgavekommissionen 1 Til matematiklæreren
Læs mereIntroduktion til Clamp-on flowmålere
Introduktion til Clamp-on flowmålere Februar 2016 Notatforfatter: Pieter F. Nieman, Teknologisk Institut 1 Indledning Dette notat omhandler brugen af clamp-on flowmålere og beskriver i korte træk nogle
Læs mereAsbjørn Madsen Årsplan for 5. klasse Matematik Jakobskolen
Årsplan for matematik i 5. klasse Klassens grundbog er Kontext 5. Det er denne bog, årsplanens emner tager udgangspunkt i. Ud over dette har eleverne et Pirana-hæfte eller en kopimappe, som de til hver
Læs mereCreating powderful shapes
Creating powderful shapes DANSK SINTERMETAL A/S En ny dimension i fremstillingsprocessen Sammen skaber vi succes! Siden grundlæggelsen i 1959 har Dansk Sintermetal A/S udviklet ideer og innovative løsninger
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mereÅrsplan for 7. klasse, matematik
Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet
Læs mereMatematik for lærerstuderende klasse Geometri
Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.
Læs mereTW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik:
TW 2011/12 Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at
Læs mereÅrsplan for matematik
Årsplan for matematik 2016-17 Uge Tema/emne Metode/mål 33 Brøker + talforståelse Matematiske arbejdsmåder(metode) 34 Brøker + procent 35 Excel 35 GeoGebra/Geometri 36 Geometri 37 Emneuge 38 Geometri 39
Læs mereArtikel trykt i ERP. Gengivelse af denne artikel eller dele heraf er ikke tilladt ifølge dansk lov om ophavsret.
ERP Artikel trykt i ERP. Gengivelse af denne artikel eller dele heraf er ikke tilladt ifølge dansk lov om ophavsret. Børsen Ledelseshåndbøger er Danmarks største og stærkeste videns- og udviklingsklub.
Læs mereFærdigheds- og vidensområder Evaluering. Tal: Færdighedsmål
Klasse: Jorden mat Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 4. og 5. klasse. Bøgerne er bygget op, så emnerne følger hinanden hele vejen, hvorfor årsplanen er opbygget efter disse.
Læs mereMedlemsblad for FVM Industriel metrologi
Medlemsblad for FVM Industriel metrologi Velkommen til et nyt blad FVM har besluttet at genoptage udgivelsen af bladet Metrologi, der ellers sidst udkom for ca 10 år siden. Vi prøver med et nyt koncept
Læs mereFaglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1
Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,
Læs mereNår vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.
MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),
Læs mereI kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:
INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en
Læs mereBekendtgørelse om flasker som målebeholdere 1
Bekendtgørelse om flasker som målebeholdere 1 I medfør af 15, stk. 1, i lov om erhvervsfremme og regional udvikling, jf. lovbekendtgørelse nr. 820 af 28. juni 2016, fastsættes efter bemyndigelse i henhold
Læs mereMODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN
MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereGPS Målsætning UV materiale til AMU nr
GPS Målsætning UV materiale til AMU nr. 47426 Side 1/1 Indledning... 4 Introduktion til Geometriske Produkt Specifikationer... 5 Hvad er GPS... 5 Hvorfor skal man bruge GPS... 6 Hvad er nyt ved brug af
Læs mere12 TOLERANCER 1 12 TOLERANCER
12 TOLERANCER 12 TOLERANCER 1 12.1 Tolerancer 2 12.1.1 Betonelementers mål 2 12.1.2 Byggepladsmål 2 12.1.3 Grundlæggende tolerancebegreber 3 12.1.4 Vejledende beregning til valg af toleranceangivelser
Læs mereKOMMENTARSKABELON. Høring af CCS Informationsstruktur. Foreningen af Rådgivende Ingeniører, FRI og DANSKE ARK ime@frinet.dk pd@danskeark.
KOMMENTARSKABELON Dato Dokument Høring af CCS Informationsstruktur Udfyldt af: E- mail: Foreningen af Rådgivende Ingeniører, FRI og DANSKE ARK ime@frinet.dk pd@danskeark.dk Navn på er Inge Ebbensgaard
Læs mereMATEMATIK I HASLEBAKKER 14 OPGAVER
MATEMATIK I HASLEBAKKER 14 OPGAVER Matematik i Hasle Bakker Hasle Bakker er et oplagt mål for ekskursioner, der lægger op til, at eleverne åbner øjnene for de muligheder, naturen giver. Leg, bevægelse,
Læs mereStop cylinderen rigtigt i endestillingen Af Peter Windfeld Rasmussen
Stop cylinderen rigtigt i endestillingen Af Peter Windfeld Rasmussen I nogle applikationer skal en cylinder køres helt i bund ved høj hastighed. For at afbøde det mekaniske chok kan alle cylinderleverandører
Læs mere!!!!! af Brian Kristensen! http://akrylkunst.dk. Tegne et ansigt
af Brian Kristensen http://akrylkunst.dk side 1 af 6 Denne quick guide viser i korte steps hvordan man tegner de rigtige proportioner i et ansigt. For at have et fundament når du tegner et ansigt er det
Læs mereEleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger
Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft
Læs mereFormativ brug af folkeskolens prøver. Den skriftlige prøve i matematik i 10. klasse, FP10, maj 2018
Formativ brug af folkeskolens prøver Den skriftlige prøve i matematik i 10. klasse, FP10, maj 2018 1 Til matematiklæreren i 10. klasse Dette er en rapport om den skriftlige prøve i matematik maj 2018.
Læs mere