INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

Transkript

1 STTUT FR DTG, RUS UVERSTET Science and Technology ESE ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. juni 0, kl Tilladte medbragte hjælpemidler: lle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, lommeregner). omputer må ikke medbringes. ateriale der udleveres til eksaminanden: PGVETESTE EGYDER PÅ ÆSTE SDE oo

2 Eksamen Sommeren 0 Side af sider pgave (%) emærk: agerst i eksamenssættet findes sider til at angive svarene til opgave på og som afleveres som del af eksamensbesvarelsen. etragt nedenstående vægtede orienterede graf. Det antages, at grafen er givet ved incidenslister, hvor incidenslisterne er sorteret alfabetisk. Spørgsmål a: ngiv et FS-træ for ovenstående graf, hvor FS-gennemløbet starter i knuden. ngiv kanterne i FS-træet, FS-numrene for knuderne, og rækkefølgen knuderne bliver indsat i køen Q i FS-algoritmen. Spørgsmål b: ngiv et DFS-træ for ovenstående graf, hvor DFS-gennemløbet starter i knuden, og en DFS-nummerering af knuderne. ngiv for hver knude discovery time og finishing time. arker for hver kant om det er en tree edge (T), back edge (), cross edge () eller forward edge (F). Spørgsmål c: ngiv de stærke sammenhængskomponenter i ovenstående graf. For hver komponent angiv knuderne i komponenten. Spørgsmål d: ngiv et korteste veje (SSSP) træ for ovenstående graf, når korteste veje beregningen sker med hensyn til startknuden. For hver knude v angiv også afstanden fra startknuden til v, og angiv rækkefølgen knuderne tages ud af prioritetskøen Q i Dijkstra s algoritme Spørgsmål e: ngiv kanterne i et minimum udspændende træ(st) for ovenstående uorienterede graf med vægte på kanterne. ngiv i hvilken rækkefølge knuderne bliver taget ud af prioritetskøen Q i Prim s algoritme, når denne starter i knuden

3 Eksamen Sommeren 0 Side af sider pgave (%) emærk: agerst i eksamenssættet findes en side til at angive svarene til opgave på og som afleveres som del af eksamensbesvarelsen. etragt nedenstående netværk med de angivne kapaciteter på kanterne. s t 9 0 D E 8 F G Spørgsmål a: ngiv en maksimal strømning (maximum flow) fra s til t i netværket (angiv for hver kant strømningen langs kanten), angiv værdien af en maksimal strømning, og angiv et snit (cut) (dvs. opdeling af knuderne i to disjunkte mængder) hvor kapaciteten af snittet er lig værdien af en maksimal strømning. Spørgsmål b: etragt Edmonds-arp algoritmen anvendt på ovenstående graf til beregning af en maksimal strømning. ngiv de forbedrende stier (augmenting paths) der anvendes under udførslen af Edmonds-arp algoritmen. For hver forbedrende sti angiv knuderne på stien og strømningen, man forbedrer med, langs stien.

4 Eksamen Sommeren 0 Side af sider pgave (0%) denne opgave antages at vi har givet en orienteret graf G = (V,E), med n = V knuder og m = E kanter. For to knuder u og v definerer vi afstanden dist(u,v) som længden af den korteste orienterede sti fra u til v, hvor længden af en sti er antallet af kanter på stien. vis v ikke kan nås fra u så er dist(u,v) = +. Spørgsmål a: Givet en knude u, beskriv en algoritme der finder en knude v, som er længst væk fra u, dvs. dist(u,v) = max w V dist(u,w) (+, hvis der findes en knude v der ikke kan nås fra u). ngiv algoritmens udførselstid. Vi kalder en knude u en broadcast knude, hvis der for alle knuder v V findes en sti fra u til v. roadcast radius rad(u) for u er den maksimale afstand til en anden knude, dvs. rad(u) = max v V dist(u,v). Enknude medminimalbroadcast radiuskaldes for en central broadcast knude, og vi lader grafens broadcast radius være rad(g) = min u V rad(u). Spørgsmål b: eskriv en algoritme der finder en central broadcast knude i en orienteret graf G, under antagelse at der findes mindst en broadcast knude i G. ngiv algoritmens udførselstid. En ideel besvarelse opnår udførselstid (n ). Spørgsmål c: eskriv en algoritme, der afgør om en orienteret graf G har en broadcast knude. ngiv algoritmens udførselstid. En ideel besvarelse opnår udførselstid (n+m). Vi ønsker nu at anvende to broadcast knuder, som broadcaster til hver sin del af grafen G, således at den maximale broadcast radius er mindst mulig. Det antages at G har mindst en broadcast knude. Formelt ønsker vi at finde en disjunkt opdeling af V i to delmængder V og V, således at max(rad(g ),rad(g )) er mindst mulig, hvor G = (V,E ) og G = (V,E ) og E i er præcis de kanter i E som forbinder knuder i V i, dvs. E i = E (V i V i ). Spørgsmål d: eskriv en algoritme, der finder den minimale broadcast radius, når der må anvendes to broadcast knuder. ngiv algoritmens udførselstid.

5 Eksamen Sommeren 0 Side af sider pgave (0%) En sekvens af reelle tal y < y < < y m siges at være accelererende hvis y i+ y i > y i y i, for alle < i < m. F.eks. er,,, en accelererende sekvens da > >, hvorimod,,8 ikke er en accelererende delsekvens da 8 <. For en sekvens af n reelle tal x < x < < x n, ønsker vi at finde en længste accelererende delsekvens. F.eks. er,,8 en længste accelererende delsekvens af,,,8,0. Spørgsmål a: ngiv en længste accelererende delsekvens af sekvensen,,,9,,,8,, For i < j n lader vi (i,j) betegne længden af en længste accelererende delsekvens af x,...,x j, hvor x i og x j er de sidste to elementer i delsekvensen. For i n definerer vi (i,i) =. (i,j) kan bestemmes ved følgende rekursionsformel, hvor i j n. (i,j) = { hvis i = j +max{(k,i) k i x j x i > x i x k } hvis i < j Spørgsmål b: Udfyld nedenstående tabel for (i,j) for sekvensen,9,,,. (i,j) Spørgsmål c: ngiv en algoritme baseret på dynamisk programmering, der givet en sekvens af n reelle tal x < < x n, beregner længden af en længste accelererende delsekvens. ngiv algoritmens udførselstid. Spørgsmål d: Udvid algoritmen til at rapportere en længste accelererende delsekvens af x < < x n. ngiv algoritmens udførselstid.

6 Eksamen Sommeren 0 Side af sider pgave (0%) Givet en streng T af længde n, ønsker vi at finde en delstreng S af T, således at der findes to ikke-overlappende forekomster af S i T. det følgende antages at disse forekomster er på position i og j, hvor i < j og j i S. F.eks. for strengen T = bbabcabcabaa forekommer delstrengen S = abc på position i = og j =. emærk at strengen S = abcab også forekommer to gange på positionerne og, men at disse to forekomster overlapper og derfor ikke vil være et lovligt svar. emærk for den længere streng T = bbabcabcabaabcabc findes delstrengen S = abcab på positionerne, og, hvor forekomsterne på position og er ikke-overlappende og derfor et lovligt svar. det følgende kan det antages at strengene er over et alfabet med () tegn og at et suffikstræ for en streng af længde n over et alfabet med () tegn kan konstrueres i (n) tid. Spørgsmål a: For nedenstående streng T, angiv en længste delstreng S af T og positioner i og j, hvor der er to ikke-overlappende forekomster af S i T på positionerne i og j og j i S. T = abcababcbbcababcbbcc Spørgsmål b: eskriv en algoritme, der givet en streng T af længde n, finder en længste delstreng S, således at der findes to ikke-overlappende forekomster af S i T på positioner i og j, hvor j i S. ngiv algoritmens udførselstid. En ideel besvarelse opnår udførselstid (n). Spørgsmål c: eskriv en algoritme, der givet en streng T af længde n, finder en længste delstreng S, således at der findes tre ikke-overlappende forekomster af S i T på positioner i, j og k, hvor k j S og j i S. ngiv algoritmens udførselstid. En ideel besvarelse opnår udførselstid (n ) eller bedre.

7 Årskort: avn: Eksamen Sommeren 0 Side af sider pgave Svar Spørgsmål a: FS ndsættelser i Q: Spørgsmål b: DFS

8 Eksamen Sommeren 0 Side 8 af sider ( blank side )

9 Årskort: avn: Eksamen Sommeren 0 Side 9 af sider pgave Svar Spørgsmål c: Stærke sammenhængskomponenter: Spørgsmål d: SSSP 0 0 Udtagelse fra Q: Spørgsmål e: ST Udtagelse fra Q:

10 Eksamen Sommeren 0 Side 0 af sider ( blank side )

11 Årskort: avn: Eksamen Sommeren 0 Side af sider pgave Svar Spørgsmål a: s t 9 0 D E 8 F G Værdien af strømning: inimal snit: Spørgsmål b: Forbedring Forbedrende sti