Parameterkurver. Kapitel 7:

Transkript

1 Kapitel 7: Parameterkurver 7 Oversigt af tegning af parameterkurver Oversigt over tegning af parameterkurver Forskelle mellem tegning af parameterkurver og funktioner I dette kapitel beskrives, hvordan du tegner parameterkurver på TI-89. Inden du anvender dette kapitel, bør du kende indholdet i kapitel 6: Grundlæggende grafik. Parameterkurvers ligninger består af en x- og en y-komponent, som begge udtrykkes som funktioner af samme uafhængige variabel t. Du kan anvende parameterkurver til at tegne et tidsafhængigt forløb. Positionen for et projektil har en vandret (x) og en lodret (y) komponent udtrykt som en funktion af tiden (t). Eksempel: y(t) = v 0 t sin q (g/2)tñ (x(t),y(t)) x(t) = v 0 t cos q Grafen viser projektilets bane gennem tiden. Det forudsættes, at kun tyngdekraften (ingen luftmodstand m.m.) virker på projektilet. Kapitel 7: Parameterkurver 115

2 Oversigt af tegning af parameterkurver Tegn den parameterfremstilling, der beskriver banekurven for en bold, der sparkes ud i en vinkel q på 60 med en starthastighed (v 0 ) på 15 m/s. Tyngdeaccelerationen g = 9,8 m/s 2. Når luftmodstand og andre kræfter ignoreres, hvad er da boldens største højde? Hvornår rammer bolden jorden? Trin Taster Display 1. Vis dialogboksen MODE. Vælg PARAMETRIC i Graph-tilstand. 3 B 2 2. Vis og ryd Y=-editoren. Definer dernæst den vandrette komponent xt1(t) = v 0 t cos q. Indtast værdier for v 0 og q. Skriv T p2x, ikke T 2X. Skriv et symbol ved enten at indtaste 2 eller 2I2 1. På denne måde tolkes et tal som grader, uanset hvilken vinkelenhed der er valgt. # ƒ8 15Tp 2X60 2 d xt1(t)=15tù cos(60 ) 3. Definer den lodrette komponent yt1(t) = v 0 t sin q (g/2)t 2. Indtast værdier for v 0,q, og g. 4. Vis Window-editoren. Indtast de relevante Window-variabler til dette eksempel. Du kan trykke på D eller for at indtaste en værdi og flytte til næste variabel. 15Tp 2W60 2 d c 9.8e2d TZ2 $ 0D3D.02D 2D 25D5D 2D10D 5 5. Tegn boldens banekurve. % 6. Vælg Trace. Flyt derpå markøren langs kurven for at finde følgende: y-værdien ved den maksimale højde. B eller A t-værdien, hvor bolden rammer jorden. 116 Kapitel 7: Parameterkurver

3 Oversigt over tegning af parameterkurver Når du tegner parameterkurver, skal du anvende de samme generelle trin som til y(x)-funktioner, beskrevet i kapitel 6 Grundlæggende grafik. Eventuelle forskelle, som gælder for parameterkurver, beskrives på de følgende sider. Tegning af parameterkurver Sæt grafindstillingen (3) til PARAMETRIC. Indstil vinkelenheden (Angle), hvis det er nødvendigt. Definer x- og y- komponenter i Y=-editoren ( #). Tips: Tryk på 5, eller anvend, hvis du vil afmarkere og dermed deaktivere tegning af statistiske data (kapitel 16) Vælg ( ), hvilke definerede ligninger der skal tegnes. Marker x- eller y- komponenten, eller begge. Tips: Dette er valgfrit. Hvis du skal tegne flere funktioner, er det lettere at skille dem ad. Indstil displayformatet (2 ˆ) for en ligning. Du kan enten indstille x- eller y- komponenten. Tips: Zoom ændrer også visningsvinduet. Definer tegnevinduet ( $). Revidér grafformatet ( Í eller ƒ 9) hvis det er nødvendigt. Tegn de markerede ligninger ( %). Analysér grafen Du kan gøre følgende fra tegnevinduet: Vise koordinater for et billedpunkt ved at anvende den bevægelige markør, eller for et tegnet punkt ved at spore på en parameterkurve. Anvende menuen Zoom til at zoome ind eller ud på en del af grafen. Anvende menuen Math til at finde differentialkvotienter, tangenter osv. Visse menupunkter kan ikke bruges ved parameterkurver. Kapitel 7: Parameterkurver 117

4 Forskelle mellem tegning af parameterkurver og funktioner Dette kapitel forudsætter, at du ved, hvordan du tegner y(x)- funktioner som beskrevet i kapitel 6: Grundlæggende grafik. I dette afsnit beskrives de forskelle, der gælder for parameterkurver. Indstilling af Graphtilstanden Anvend 3 til at angive Graph = PARAMETRIC, inden du definerer ligninger eller angiver Window-variabler. Med Y=-editoren og Window-editoren kan du kun indtaste information til den aktuelle grafindstilling. Definition af parameterkurver i Y=-editoren For at kunne tegne en parameterkurve må du definere både dens x- og y-komponenter. Hvis du kun definerer én komponent, kan kurven ikke tegnes. (Du kan dog anvende de enkelte komponenter til at opstille en automatisk tabel som beskrevet i kapitel 13). Indtast x- og y-komponenter på adskilte linier. Du kan definere xt1(t) til xt99(t) og yt1(t) til yt99(t). Vær forsigtig, når du anvender underforstået multiplikation med t. Eksempel: Bemærk: Når du anvender t, skal implicit multiplikation være gyldig i den øjeblikkelige situation. Tips: Du kan anvnede kommandoen Define fra Home-skærmbilledet (se bilag A) til at definere funktioner og ligninger for en graftilstand, uanset den øjeblikkelige tilstand. Angiv: I stedet for: Årsag: tù cos(60) tcos(60) tcos fortolkes som en brugerdefineret funktion med navnet tcos, og ikke som en underforstået multiplikation. I de fleste tilfælde henviser dette til ikkeeksisterende funktioner. TI-89 giver funktionsnavnet, ikke et tal. Y=-editoren opretholder en uafhængig funktionsliste for hver grafindstilling. Antag f.eks. følgende: I graftilstanden FUNCTION definerer du et sæt y(x)-funktioner. Du skifter til graftilstanden PARAMETRIC og definerer et sæt x- og y- komponenter. Når du returnerer til graftilstanden FUNCTION, er y(x)- funktionerne stadig defineret i Y=-editoren. Når du vender tilbage til graftilstanden PARAMETRIC, er x- og y-komponenterne stadig definerede. 118 Kapitel 7: Parameterkurver

5 Valg af parameterkurver Hvis du vil tegne en parameterkurve, skal du vælge enten dens x- eller y-komponent eller begge. Når du indtaster eller redigerer en komponent, vælges den automatisk. Det kan være en fordel at vælge x- og y-komponenter særskilt til tabeller som beskrevet i kapitel 13. Med flere parameterkurver kan du vælge og sammenligne alle x-komponenter eller alle y-komponenter. Valg af displayformat Tips: Anvend formaterne Animate og Path til spændende bevægelige projektileffekter. Window-variabler Du kan angive format for enten x- eller y-komponenten. Hvis du f.eks. sætter x -komponenten til Dot, indstilles y -komponenten automatisk til Dot. Formaterne Above og Below kan ikke bruges ved parameterkurver og er derfor nedtonede på menuen 2ˆ Style i Y=-editoren. Window-editoren opretholder et uafhængigt sæt af Window-variabler til hver grafindstilling (ligesom Y=-editoren opretholder uafhængige funktionslister). Til parameterkurver anvendes følgende Windowvariabler. Bemærk Du kan anvende et negativt tstep. Hvis du gør det, skal tmin være større end tmax. Variabel tmin, tmax tstep xmin, xmax, ymin, ymax xscl, yscl Beskrivelse Den mindste og største t-værdi, der skal beregnes. Forøgelsen af t-værdien. Parameterkurvers punkter beregnes ved: x(tmin) y(tmin) x(tmin+tstep) y(tmin+tstep) x(tmin+2(tstep)) y(tmin+2(tstep))... må ikke overskride må ikke overskride... x(tmax) y(tmax) Grænser for tegnevinduet. Afstand mellem skalastreger på x- og y-aksen. Standardværdier (indstilles, når du vælger 6:ZoomStd på menuen Zoom) er: tmin = 0. xmin = ë 10. ymin = ë 10. tmax = 2p ( radianer eller 360 grader) xmax = 10. ymax = 10. tstep =p/24 ( radianer eller 7.5 grader) xscl = 1. yscl = 1. Du kan være nødt til at ændre standardværdierne for t-variablerne (tmin, tmax, tstep) for at sikre, at der tegnes tilstrækkeligt mange punkter. Kapitel 7: Parameterkurver 119

6 Analysér en graf Tips: Under en sporing kan du også beregne x(t) og y(t) ved at skrive t-værdien og trykke på. Tips: Du kan anvende QuickCenter når som helst under en sporing, selv om markøren stadig befinder sig i vinduet. Ligesom ved funktionstegning kan du analysere en graf med følgende værktøj. Værktøj Bevægelig markør Ved parameterkurver: Fungerer som ved funktionstegning. Zoom Fungerer som ved funktionstegning med følgende undtagelser: Kun x (xmin, xmax, xscl) og y (ymin, ymax, yscl) Window-variabler påvirkes. t-window-variablerne (tmin, tmax, tstep) påvirkes ikke, med mindre du vælger 6:ZoomStd (hvilket indstiller tmin = 0, tmax = 2p og tstep = p/24). Trace Her kan du flytte markøren langs grafen et tstep ad gangen. Når du begynder en sporing, befinder markøren sig på den først markerede parameterkurve ved tmin. QuickCenter gælder for alle retninger. Hvis du flytter markøren ud af vinduet (top eller bund, venstre eller højre), trykker du på for at centrere visningsvinduet ved markørens position. Automatisk panorering kan ikke bruges. Hvis du flytter markøren ud af venstre eller højre side af vinduet, panoreres visningsvinduet ikke automatisk. Du kan derimod anvende QuickCenter. Math Kun 1:Value, 6:Derivatives, 9:Distance, A:Tangent og B:Arc kan bruges ved parameterkurver. Disse værktøjer baseres på t -værdierne. Eksempel: 1:Value viser x- og y-værdier for en bestemt t -værdi. 6:Derivatives finder dy/dx, dy/dt eller dx/dt i et punkt svarende til en bestemt t -værdi. 120 Kapitel 7: Parameterkurver