Archimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011

Transkript

1 Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Archimedes princip 2 3 Bemærkninger 6

3 Resumé I dette dokument beviser vi Archimedes princip. Det foregår ved at bevise mange små hjælpesætninger ( lemmaer ) som til sidst bliver bygget sammen til et samlet bevis. 1 Introduktion Vi skal her bevise en fundamental egenskab ved de reelle tal, nemlig at ethvert interval på den reelle akse indeholder både rationelle og irrationelle tal, såfremt det overhovedet indeholder mere end et element. Umiddelbart er det svært at komme i tanker om gode eksempler på irrationelle tal. Vi kender 2, π og måske også e. Og af disse tre har vi faktisk kun bevist at 2 er irrationel 1. Sætningen her beviser at der er masser af irrationelle tal 2. Sjovt nok er det tilstrækkeligt for at vi kan gennemføre beviset at der findes et eneste irrationelt tal. Beviset er bygget sådan op at vi først beviser en række hjælpesætninger (såkaldte lemmaer), der hver især er meget logiske, og som tilsammen beviser selve hovedsætningen. Denne fremgangsmåde er meget almindelig i matematik. Eftersom sætningen handler om rationelle og irrationelle tal på den reelle akse, er det naturligvis en forudsætning at man minder sig selv om hvad rationelle tal er (nemlig brøker med hele tal i tæller og nævner) og hvad reelle tal er (nemlig en udvidelse af de rationelle tal, hvor man tillader kommatal med uendeligt mange, ikke periodiske cifre). Undervejs får vi desuden brug for sætningen om at kvadratroden af 2 er irrationel 3 (fordi vi jo skal bruge et irrationelt tal), og vi bruger også lidt basal terminologi om funktioner 4. 1 Du kan læse et meget avanceret bevis for at π er irrationelt her. 2 Faktisk er der i en vis forstand mange, mange flere end der er rationelle, men det kommer vi ikke ind på. I stedet kan du læse om mængders kardinaliteter her 3 Det kan du læse et bevis for her 4 Læs om funktioner her side 1

4 2 Archimedes princip Som nævnt i indledningen bygger vi beviset op lidt af gangen. Lemma 1 I de reelle tal findes der et element, x > 0, som opfylder at x 2 = 2. Bevis. Dette er faktisk den vanskeligste del af beviset fordi det i bund og grund afhænger af hvordan de reelle tal er konstrueret, og eftersom vores definition af de reelle tal (som kommatal med uendeligt mange cifre) ikke er særligt præcis, kan vi ikke bevise denne påstand. Hvis vi dog husker at de reelle tal er konstrueret med præcis det formål at enhver tænkelig længde af et linjestykke kan angives med et reelt tal, så er det en konsekvens af Pythagoras sætning at et sådant må x eksistere. Nemlig længden af hypotenusen i en retvinklet trekant, hvor begge kateder har længde 1. Lemma 2 Det reelle tal fra lemma 1 er irrationelt. Bevis. Dette er bevist i et tidligere dokument. Lemma 3 Det reelle tal fra lemma 1 er mindre end 2. side 2

5 Bevis. Betragt funktionen: f : { R R x x 2 Denne funktion er voksende på intervallet [0; [. Eftersom f(2) = 4, vil f(x) > 4 for alle x > 2. Specielt er f(x) 2 for alle x > 2. Derfor må det reelle tal fra lemma 1 være mindre end 2. Lemma 4 Hvis a og b er rationelle tal, så er a+b, a b og a b også rationelle tal. Hvis endvidere b 0, så er a også rationelt. b Bevis. Dette skyldes ganske enkelt definitionen af hvordan rationelle tal lægges sammen, trækkes fra hinanden og ganges og divideres med hinanden. Alle fire definitioner sikrer at resultatet giver et nyt rationelt tal. Lemma 5 Hvis man lægger et rationelt tal sammen med et irrationelt tal, så bliver det irrationelt. Bevis. Antag at a er et rationelt tal, og at b er et irrationelt tal. Hvis a+b skulle gå hen at være rationelt, så ville lemma 4 medføre at (a + b) a også var rationelt. Men (a + b) a er jo lig med b, som er irrationelt. Antagelsen om at a + b skulle være rationelt fører altså til modstrid, så derfor må a + b være irrationelt. side 3

6 Lemma 6 Hvis man ganger et irrationelt tal med et rationelt tal som ikke er nul, så bliver det irrationelt Bevis. Antag at a er et rationelt tal, som er forskelligt fra nul, og b er et irrationelt tal. Hvis a b skulle gå hen at være rationelt, så ville lemma 4 medføre at a b også var rationelt. Men a b er jo lig med b, som var antaget a a at være irrationelt, så antagelsen om at a b er rationelt fører til modstrid, derfor må den være irrationel. Lemma 7 Hvis L > 0 er et hvilket som helst reelt tal, så findes der både et rationelt tal og et irrationelt tal som er større end nul og mindre end L. Bevis. Ved at vælge n N stor nok (helt præcist skal man vælge n til at være større end 1 ), så kan man opnå at L 0 < 1 n < L Dermed har vi fundet et rationelt tal mellem 0 og L. Lad nu x betegne det irrationelle tal fra lemma 1. Fra lemma 6 ved vi at 1 x også er irrationelt (vi genbruger det samme n som vi 2n fandt ovenover). Fra lemma 3 får vi vurderingen: 1 2n x < 1 2n 2 = 1 n < L Dermed har vi skaffet er irrationelt tal mellem 0 og L. side 4

7 Vi er nu klar til at bevise vores hovedsætning: Sætning 8 Hvis a og b er to reelle tal hvor a < b, så indeholder det åbne interval ]a; b[ både et irrationelt tal og et rationelt tal. Bevis. Antag at a < b. Lad L = b a, hvilket er større end nul, fordi 2 a < b. Ifølge lemma 7 kan vi finde et rationelt tal, q, og et irrationelt tal, r, som begge er større end nul og mindre end L. Betragt nu tallene:... 2 q, q, 0, q, 2 q, 3 q, 4 q.... De er allesammen rationelle ifølge lemma 4, og de ligger på den reelle akse med en afstand på q. Eftersom q < L, og L er halvdelen af intervalbredden af ]a; b[, må mindst et dem ligge inde i intervallet (se figur 1). Dette viser første halvdel af sætningen. Lad os nu sige at Q var det rationelle tal som vi lige fandt inde i intervallet. Eftersom r < L og L er halvdelen af intervalbredden, må enten Q+r eller Q r ligge inde i intervallet. Ifølge lemma 5 er begge disse tal irrationelle, og dermed har vi også fundet et irrationelt tal inde i intervallet. Figur 1: side 5

8 3 Bemærkninger Bemærk at vi hermed har bevist at alle åbne intervaller, ]a; b[, indeholder både rationelle og irrationelle tal. Men dermed vil alle halvåbne, f.eks. [a; b[ og lukkede intervaller, [a; b] selvfølgelig også indeholde rationelle og irrationelle, hvis blot a < b. Disse intervaller er jo bare en anelse større end det tilsvarende åbne interval. Bemærk at vi egentlig kun har vist at hvert interval indeholder et rationelt og et irrationelt tal. Men det er meget nemt derfra at indse at der faktisk må være uendeligt mange af begge dele i hvert interval: Man kan jo bare inddele et givet interval i lige så mange mindre dele man har lyst til, og hver af disse dele vil så indeholde et rationelt og et irrationelt tal. side 6