Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september Spilstrategier
|
|
- Andreas Steffensen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september Spilstrategier Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, der gælder samme regler for hvordan A og B må trække, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der er desuden kun et endeligt antal træk, dvs. spillet kan ikke ende uafgjort, og en af de to spillere må derfor have en vindende strategi. (Hvorfor det? Overvej.) I det første eksempel og de første opgaver vi skal se på, er strategien at dele alle startpositioner i to grupper: Dem hvor første spiller har en vindende strategi, og dem hvor hun ikke har, dvs. dem hvor spiller nummer to har en vindende strategi. 1.1 Eksempel I et spil ligger der n sten på et bord, og de to spillere A og B må i hvert træk fjerne 1, 2,..., k 1 eller k sten fra bordet. Den spiller der tager de sidste sten, har vundet. Spørgsmålet er nu for hvilke værdier af n den første spiller A har en vindende strategi. Dette kan man finde ud af ved at prøve sig frem med små tal. Det er for eksempel indlysende at for n {1, 2,..., k} har spiller A en vindende strategi, mens for n = k + 1 har hun ikke. Dvs. A har en vindende strategi, hvis hun efter første træk kan efterlade k + 1 sten på bordet, og det kan hun netop for n {k + 2, k + 3,..., 2k + 1}. På denne måde ser man induktivt at A har en vindende strategi, netop når n ikke er et multiplum af k + 1. Hvis n ikke er et multiplum af k + 1, kan A nemlig efter hvert træk efterlade et bord med et multiplum af k + 1 sten, mens hvis der fra starten er et multiplum af k + 1 sten, vil B efter hvert træk have mulighed for at efterlade et multiplum af k + 1 sten på bordet. (Engel) 1.2 Vindermængde og tabermængde Af eksemplet fremgår det hvordan man deler startmulighederne op i to mængder som vi kalder tabermængden, og som vi kalder for vindermængden. T = {n N n = m(k + 1) for m N} V = {n N n m(k + 1) for m N} Med et udgangspunkt fra vindermængden skal der findes et træk så man lander i tabermængden, og med udgangspunkt i tabermængden skal man efter et vilkårligt lovligt træk lande i vindermængden. 1.3 Opgave I et spil ligger der n sten på et bord, og de to spillere A og B må i hvert træk fjerne 1, 2, 4, 8,... (altså alle potenser af 2) sten fra bordet. Den spiller der tager de sidste sten, har vundet. Bestem de værdier af n for hvilke spiller A har en vindende strategi. (Engel)
2 Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september Opgave Fire bunker med henholdsvis 38, 45, 61 og 70 tændstikker ligger på et bord. To spillere skiftes til at udvælge to bunker og fjerne et antal tændstikker fra hver. (De skal altså fjerne mindst en fra hver bunke, men behøver ikke at fjerne lige mange fra hver.) Den spiller som først ikke kan trække, taber. Hvilken af de to spillere har en vindende strategi? (Baltic Way 1996) 1.5 Opgave I et spil ligger der n sten på et bord, og de to spillere A og B må i hvert træk fjerne p m sten fra bordet, hvor p er et primtal og m et ikke-negativt helt tal. Primtallet p og tallet m må gerne variere fra træk til træk. Den spiller der tager de sidste sten, har vundet. Bestem tabermængden. (Engel) 1.6 Uendelig tabermængde I de foregående eksempler og opgaver har vi eksplicit bestemt tabermængden og vindermængden, men det er ikke altid så let. I dette eksempel skal vi se på et spil hvor der ligger to bunker med sten på bordet. Hvert træk består i at fjerne et antal sten fra den ene bunke eller fjerne samme antal sten fra begge bunker. Den spiller der fjerner den sidste sten, har vundet. En udgangsposition med a sten i den ene bunke og b i den anden betegner vi med (a, b). Dette eksempel går ud på at vise at der findes uendeligt mange udgangspositioner så spiller B har en vindende strategi, men altså ikke bestemme dem. Dette svarer til at vise at tabermængden er uendelig. Man kan godt pusle sig frem til de første elementer i tabermængden og finde en algoritme for hvordan det næste element fremkommer og derved vise at den er uendelig, men i dette eksempel skal I se et andet trick hvor man overhovedet ikke behøver at bestemme et eneste element i tabermængden. Vi viser det i stedet indirekte ved at antage at tabermængden er endelig. Da findes et største element i tabermængden (n, m), n m, således at ingen andre elementer i tabermængden indeholder en bunke med flere end n sten. Dermed må udgangspositionen (n + 1, 2n + 2) ligge i vindermængden, og der skal altså findes et træk så man fra denne position ender i tabermængden, men det gør der ikke. Dermed har vi en modstrid, og tabermængden er dermed uendelig. Samme trick skal du benytte i næste opgave. 1.7 Opgave To personer spiller følgende spil. Der ligger til at starte med n sten på bordet, og hver spiller skiftes til at tage m 2 sten fra bordet hvor m er et naturligt tal. Den spiller der tager de sidste sten, har vundet. Vis at der findes uendeligt mange værdier af n for hvilke spiller nummer to har en vindende strategi. (Baltic Way 1995) Nu skal vi se på nogle spil som nemt bliver så uoverskuelige at det er umuligt at bestemme taber- og vindermængden. Når man er på jagt efter en vindende strategi, kan man ikke få overblik over alle de situationer der kan opstå i spillet, men man kan ved hjælp af en
3 Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september strategi der bygger på symmetri, sørge for at man kun kommer ud i et overskueligt udvalg af alle disse muligheder. 1.8 Parring ved hjælp af symmetri På et skakbræt skiftes spiller A og B til at placere en springer. Spiller A placerer hvide springere og B sorte. De må kun placere springerne på tomme felter som ikke er truet af en springer af modsat farve. Den spiller som først ikke kan placere en springer, har tabt. Vi skal nu undersøge hvem af A og B der har en vindende strategi, når spiller A starter. Det er let at se at det bliver fuldstændigt uoverskueligt at opdele samtlige mulige situationer i en vinder- og tabermængde, men hvis vi blot kan finde en vindende strategi for en af spillerne, er det også godt nok. I dette tilfælde har spiller B en vindende strategi. Hvis hun udnytter den vandrette (eller lodrette) symmetriakse midt gennem brættet der parrer felterne to og to, og hver gang at spiller A har placeret en springer, placerer en springer på det felt der er parret med det felt hvor spiller A placerede, vil hun altid have mulighed for at trække. Her udnytter man altså at felterne kan parres to og to så man hele tiden har mulighed for at kopiere modspillerens træk og dermed sikre sig at han først står i en situation hvor han ikke kan trække. 1.9 Opgave På et skakbræt skiftes spiller A og B til at placere en løber. Spiller A placerer hvide løbere og B sorte. De må kun placere løberne på tomme felter som ikke er truet af en løber af modsat farve. Den spiller som først ikke kan placere en løber, har tabt. Afgør hvilken af de to spillere der har en vindende strategi. (Engel) 1.10 Opgave På et 5 5 skakbræt spiller to spillere følgende spil. Den første spiller placerer en springer på brættet hvorefter spillerne på skift startende med den anden spiller flytter springeren til et felt som ikke før har været besøgt. Den første spiller som ikke kan flytte springeren, har tabt. Hvilken af de to spillere har en vindende strategi? (Baltic Way 1997) 1.11 Opgave Georg og hans mor spiller et spil hvor der til at starte med er n bunker med lige mange mønter i hver. De har tur på skift, og i hver tur må de fjerne en eller flere mønter fra samme bunke. Den spiller der tager den sidste mønt, har vundet. Georg starter altid. Bestem de værdier af n for hvilke Georg har en vindende strategi Opgave Astrid og Malte spiller følgende spil på et n 1001 skakbræt, hvor n På skift farver de for et naturligt tal k alle de k 2 felter i et k k kvadrat røde. Tallet k må gerne variere fra træk til træk, men det er ikke tilladt at kvadratet indeholder felter som allerede er farvede. Den spiller der først ikke kan trække, har tabt. Bestem samtlige værdier af n for hvilke Astrid har en vindende strategi når hun er den der trækker først.
4 Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september Opgave På et uendeligt skakbræt skiftes to spillere til at markere et tomt felt. Den ene spiller markerer med kryds og den anden med bolle. Den der først har udfyldt fire felter som danner et 2 2 kvadrat med sit symbol, har vundet. Har den spiller der starter, altid en vindende strategi? (Baltic Way 1996) (Bemærk at dette spil afviger fra de andre vi har set på, da det kan fortsætte i det uendelige.)
5 Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september Løsningsskitser Opgave 1.3 Da 3 2 n for alle n = 0, 1, 2,..., vil tabermængden bestå af alle multipla af 3. Hvis udgangspunktet ikke er et multiplum af 3, kan man nemlig ved at fjerne en eller to sten efterlade et multiplum af 3 sten til modstanderen, mens modstanderen ved et udgangspunkt med et multiplum af 3 sten på bordet altid vil efterlade et antal sten på bordet som ikke er et multiplum af 3. Opgave 1.4 Bemærk først at tabermængden består af alle udgangspositioner med henholdsvis a, a, a og b, hvor b a, tændstikker i de fire bunker. Fra alle andre udgangspositioner kan man nemlig i et træk komme til en sådan position (overvej), mens man fra en udgangsposition med a, a, a og b tændstikker i de fire bunker efter endt træk aldrig kan ende i en tilsvarende. Dermed har den spiller som starter en vindende strategi. Opgave 1.5 Igen starter vi med at bestemme tabermængden. Det mindste tal i tabermængden må være n = 6 da det ikke er en primtalspotens. Da ingen primtalspotenser er delelige med 6, vil man fra en udgangsposition med et multiplum af 6 sten på bordet altid efter endt træk ende med et antal sten som ikke er et multiplum af 6. Desuden kan man fra enhver udgangsposition der ikke er delelig med 6, efter endt træk ende med et multiplum af 6 sten på bordet da man kan trække 1,2,3,4 eller 5 sten. Dermed består tabermængden af samtlige multipla af 6. Opgave 1.7 Vi skal med andre ord vise at tabermængden er uendelig, og vi viser som i eksempel 1.6 dette indirekte ved at antage at tabermængden er endelig. Lad a være det største tal i tabermængden. Betragt nu udgangspositionen med a 2 +a+1 sten. Da (a+1) 2 > a 2 +a+1, kan første spiller efter et træk ikke ende i tabermængden, hvilket er en modstrid. Opgave 1.9 Spiller nummer to har en vindende stretegi på samme måde som i eksempel 1.8 Opgave 1.10 Den første spiller har en vindende strategi. Lad ham nemlig placerer en springer i et af hjørnerne til at starte med. Da kan man parre de resterende 24 felter således at hvert par består af to felter hvor man fra det ene kan flytte en springer til det andet og selvfølgelig omvendt. Spiller et kan nu hele tiden flytte springeren til feltet som er parret med det felt springeren står på. Opgave 1.11 Georg har en vindende strategi for ulige n. I første træk skal Georg fjerne en hel bunke. Derefter er der et lige antal bunker med lige mange mønter i hver. Hver gang Georgs mor fjerner x mønter fra en bunke med y mønter, skal Georg gøre det samme. På den måde vil der efter Georgs tur altid være et lige antal bunker der kan sættes sammen i par således at to bunker der danner par, indeholder lige mange mønter. Derfor kan Georg altid udføre det beskrevne træk, og Georgs mor kan aldrig vinde. Da der er endelig mange mønter, vil
6 Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september Georg til sidst vinde. Hvis n er lige, kan Georgs mor vinde ved at følge samme strategi. Opgave 1.12 Astrid har en vindende strategi for samtlige værdier af n. Hvis n er ulige, farvelægger Astrid et kvadrat i midten af brættet i første træk. Nu har hun delt brættet i to symmetriske halvdele, og hun kan nu hver gang kopiere Maltes træk symmetrisk på den modsatte side. Hvis n er lige, starter hun blot med at farvelægge et kvadrat i midten med en række af små kvadrater forneden. Brættet er endnu engang delt i to symmetriske halvdele hvor man ikke kan tegne et kvadrat der lapper ind over begge, og hun kan nu igen følge samme strategi som før. Opgave 1.13 Den første spiller har ikke en vindende strategi. Inddel brættet i vandrette 2 1 brikker således at brikkerne i hver række ligger forskudt i forhold til hinanden. Spiller nummer to markerer hele tiden det andet felt i den brik som første spiller netop har markeret i. Dermed kan spillet fortsætte i det uendelige uden at nogen af spillerne vinder.
Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs mereSpilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4
Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende
Læs mereNoter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik
Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.
Læs mereNoter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik
Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.
Læs mereInvarianter. 1 Paritet. Indhold
Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé
Læs mereVinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.
Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige
Læs mereLÆrerVeJLednIng til Skak I SkoLen det SkaL VÆre SJoVt at blive klogere! brug Låget på brættet materialer: Sådan kommer I I gang
løber 3 point SKOLESKAK SKOLESKAK LÆRERVEJLEDNING til skak i skolen Det skal være sjovt at blive klogere! Dansk Skoleskak og Skolemælk har i samarbejde udviklet dette materiale for at skabe mere leg, læring
Læs mereSkak-regler. Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne. Flyttning af hver enkel brik
1 / 5 29.7.2008 10:54 Skak regler Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne Flyttning af hver enkel brik - Kongen - Dronningen - Tårnet - Løberen - Springeren - Bonden Spillet Skakmat
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik
Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereInvarianter. 1 Paritet. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen
Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé
Læs mereInvarianter. 1 Paritet. Indhold
Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé
Læs mereFør-skoleskak Undervisningsbog
Før-skoleskak Undervisningsbog Dansk Skoleskak - leg og læring Før-skoleskak - undervisningsbog Dansk Skoleskak 1. udgave, 1. oplag 2013 ISBN: 978-87-87800-88-4 Udgiver Dansk Skoleskak - Skoleskak.dk Før-skoleskak
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts Kombinatorik
Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts 006 Kombinatorik Disse noter er en introduktion til kombinatorik og starter helt fra bunden, så en del af det indledende er sikkert kendt for dig allerede
Læs mereMatematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen
Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.
Læs mereLanguage: English / Danish
Rules of Coerceo by Coerceo Company Danish translation by Peter Brichs dansk Language: English / Danish Copyright Ingel dele af dette dokument må blive reproduceret, kopieret eller overført I nogen form
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs merehttp://192.168.1.217/www.nelostuote.fi/tanska/discoveryregler.html
1 / 10 25.6.2008 9:03 2 / 10 25.6.2008 9:03 Indhold 2 kort (spilleplader), 2 plastikfolier (benyttes til at lægge over kortet), 1 tjekometer, 28 tjekometer kort, 18 udrustningskort, 210 terræn brikker,
Læs merePOWER GRID SPILLEREGLER
POWER GRID SPILLEREGLER FORMÅL Hver spiller repræsenterer et energiselskab som leverer elektricitet til et antal byer. I løbet af spillet køber hver spiller et antal kraftværker i konkurrence med andre
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Talteori. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal går op i et andet helt tal. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori,
Læs mereJEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET. i matematik. Taktile materialer
JEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET i matematik Taktile materialer Jeannette Steen og Camilla Simonsen BRUG LÅGET i matematik Taktile materialer Jeannette Steen og Camilla Simonsen Brug låget i
Læs mereMatematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER Thomas Bolander 25. april 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende
Læs mereMatematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter Thomas Bolander 2. juni 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende opgaver
Læs mereTALTEORI Ligninger og det der ligner.
Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter
Læs mereTråden kan med lidt god vilje ses som et S (rødt) - og på den anden tegning et Z (rødt)
Der findes nogle få, fundamentale regler, som jeg vil prøve at redegøre for. Som regel består den af en plade (af meget varierende størrelse, men den for mig bedste størrelse er ca. 5 x 5 cm). Den kan
Læs mereLÆR SKAK+MAT MED. Dansk Skoleskak. Elevhæfte
LÆR SKAK+MAT MED Dansk Skoleskak Elevhæfte Tal-bræt 1 8 7 6 5 4 3 2 1 a b c d e f g h elevhæfte 1 1. udgave - 1. oplag 2016 ISBN: 978-87-93516-03-8 Dansk Skoleskak LÆR SKAK+MAT MED DUFFY! 1 Navn: Skole:
Læs mereSkak. Regler og strategi. Version 1.0. 1. september 2015. Copyright
Skak Regler og strategi Version 1.0 1. september 2015 Copyright Forord At lære at spille skak er ikke svært. Det tager få minutter. At blive dygtig tager som regel årevis. Om man er dygtig eller ej, er
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereEleverne kan med egne ord beskrive, hvordan de med eksperimenter og problemløsning vil strukturere deres arbejde.
Trækfuglen Opgaveark Matematik, 1.-5. klasse Omfang: Fra 1 lektion og opefter Spil dig klog Også børnene i Dhakas slum elsker at lege og spille, når de har tid. Ofte sidder de og spiller forskellige former
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?
Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereSkak, backgammon & dam
Skak, backgammon & dam da Spillevejledning Varenummer: 349 582 Made exclusively for: Tchibo GmbH, Überseering 18, 22297 Hamburg, Germany www.tchibo.dk Tchibo GmbH D-22290 Hamburg 92630AB6X6VII 2017-07
Læs mereSide 1 af 8. Vejledning
Side 1 af 8 Vejledning Art. nr. 2079006 Pedalo - Stort spillebræt - spilsamling Læs og opbevar venligst vejledningen De efterfølgende sider indeholder spilanvisning til disse spil: Generel Information:
Læs mere3.2. Grundlæggende Spilleregler
3.2. Grundlæggende Spilleregler 3.2.1. 1 Skakspillets natur og mål 1.1 Et parti skak er et spil mellem to modstandere som skiftevis flytter deres brikker på et kvadratisk bræt, kaldet et "skakbræt". Spilleren
Læs mereTal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?
Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de
Læs mereKombinatoriske Spil. Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft
Kombinatoriske Spil Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft 1 Forord Disse noter er i stor grad baseret på bogen Lessons in Play af Michael H. Albert, Richard J. Nowakowski og David Wolfe (fra nu af
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereLær skak træk for træk
Lær skak træk for træk 1 Forlaget Bedre til skak Indhold Velkommen til Skak for sjov!... 6 Kapitel 1: Bondeskak.. 9 Kapitel 2: Tapre riddere 11 Kapitel 3: Tårnskak 13 Kapitel 4: Listige løbere. 15 Kapitel
Læs mereHop videre med. Udforskning af opgaverne for 6. og 7. klassetrin i Danmark. 1 a) Tegn alle de mulige symmetriakser på vejskiltene.
Hop videre med Udforskning af opgaverne ne bygger videre på opgaver fra Kænguruen og lægger op til, at klassen sammen kan diskutere og udforske problemstillingerne. Opgavenumrene henviser til de opgaver,
Læs mereElever som oplever, at matematikken er i vanskeligheder, har brug for genkendelighed og gentagelser.
Mange elever oplever, at matematikken er i vanskeligheder. Elever som oplever, at matematikken er i vanskeligheder, har brug for genkendelighed og gentagelser. Jeg har lavet dette spil BattleShip tabellerne
Læs mereTURNERINGSFORMER. Leg & læring via skoleskak! Skoleskak.dk 1
TURNERINGSFORMER Leg & læring via skoleskak! Skoleskak.dk 1 Indholdsfortegnelse Forord 2 Bondeskak 3 Arm & hjerne skak 3 Lynskak 4 Nedtrapning 4 De tapre riddere 5 Alle-mod-alle turnering 5 Handicapturnering
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereGo, go, go Søren Wengel Mogensen
4 Blokkens spil Go, go, go Søren Wengel Mogensen Du har set Russell Crowe gøre det i A Beautiful Mind. Nu skal du gøre det i Famøs. Der er selvfølgelig tale om at spille go. Go er meget kort navn for et
Læs mere1, Kd7 2.Kb5 2.Kc5 Kc7 2, Kc7 3.Kc5, Kd7 4.Kb6 1, Kf7 2.Kc5, Kg6 3.Kc6! 3.Kd6 Kf5 3, Kg5 4.Kd7, Kf5 5.Kd6
A) 1, Kd7 2.Kb5, der truer med at besætte nabofeltet b6 (du så vel, at 2.Kc5 besvares med Kc7 og remis). Sort må nu spille 2, Kc7. Hvid svarer med 3.Kc5, Kd7 4.Kb6 og vinder. B) 1, Kf7 2.Kc5, Kg6 Pas på!
Læs mereOpgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst?
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale
Læs mereUndo Jo flere jo bedre! 1/9
Undo Jo flere jo bedre! + 1/9 Indholdsfortegnelse Målgruppen.... Side 3 Redegørelse for spillet...side 4 Produktionen..Side 6 Dokumentation for spiltest....side 7 Spilvejledning......Side 8 Regelhæfte.....Side
Læs mere1 byggeplads denne viser 4 felter med plads til bygningsbrikker. Hvert felt hører til en bestemt type valuta.
Alhambra Et spil af Dirk Henn for 2-6 spillere. De bedste bygmestre fra Europa og den arabiske verden vil bevise deres kunstfærdige arkitektur. Du har fået stillet deres bygningsarbejdere til rådighed
Læs mereNår en spiller tager en vogn, modtager og placerer han kun brikker med forsiden opad på vognen. Brikker med forsiden nedad forbliver på vognen.
Ekstra 2 spiller variant De normale spilleregler gennemføres med følgende ændringer: - hver spiller modtager 2 udvidelsesplader, som placeres med forsiden nedad ved siden af zoopladen.- Alle dyre- og yngelbrikker
Læs mereHive. Målet med spillet. Placering af nye brikker
Hive Hive betyder sværm. Hive er et strategisk spil for to spillere. Hive spilles uden et egentligt spillebræt; de sekskantede spillebrikker udgør selv spillebrættet efterhånden som de bliver placeret.
Læs mereMatematik, der afgør spil
Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,
Læs mereLÆR SKAK+MAT MED. Dansk Skoleskak. Elevhæfte
LÆR SKAK+MAT MED Dansk Skoleskak Elevhæfte Tal-bræt 1 8 7 6 5 4 3 2 1 a b c d e f g h elevhæfte 3 1. udgave - 1. oplag 2016 ISBN: 978-87-93516-05-2 Dansk Skoleskak LÆR SKAK+MAT MED DUFFY! 3 Navn: Skole:
Læs mereDet forrykte kortspil for hele familien. For 2-10 spillere fra 6 år
Indhold 112 kort 1 sæt regler Det forrykte kortspil for hele familien. For 2-10 spillere fra 6 år SPILLET IDE Det gælder om at være at komme af med alle kort fra hånden, for derved at score så få minuspoint
Læs mereSatellit af BKO Charlottenlund Fort. Aktivitetshæfte Samarbejdslege for børnehavebørn
Satellit af BKO Charlottenlund Fort Aktivitetshæfte Samarbejdslege for børnehavebørn Udarbejdet af MOtivaTION ApS for Gentofte Kommune, Gentoftegade, Ordrup, Dyssegård og Vangede Bibliotek 02-03-2015 Billedlotteri
Læs mere5, 10 og 1 4, 5 og 6 7, 11 og 4. 2, 3, 5 og 4 0, 1, 5 og 2 5, 2, 4 og 3. 2, 3, 4 og 1 4, 2 og 3 1, 8, 4 og 3. 5, 3 og 1 3, 4,og 5 3, 4 og 2
skrig Nr. 63 5, 0 og 4, 5 og 6 7, og 4, 3, 5 og 4 0,, 5 og 5,, 4 og 3, 3, 4 og 4, og 3, 8, 4 og 3 5, 3 og 3, 4,og 5 3, 4 og 5, 3, 3 og 7, 3 og, 4, 4 og, -, 3 og 6 6, 3, og 6 og 3, 4, 0 og 9 4 og 4 og 4
Læs mereDer er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken.
SJOV MED SKAK OG TAL Af Rasmus Jørgensen Når man en sjælden gang kører træt i taktiske opgaver og åbningsvarianter, kan det være gavnligt at adsprede hjernen med noget andet, fx talsjov, og heldigvis byder
Læs mereBumser og Drager. Antal spillere: 3-5 Alder: 16+ Spilletid: 40min+
Bumser og Drager Antal spillere: 3-5 Alder: 16+ Spilletid: 40min+ Spillet indeholder: 1 Spilplade (T-shirt) 1 Figur 8 Røde terninger 60 Dårlig Ide kort 6 Karakterplader 6 Vinder emblemer 12 Eventyrkort
Læs mere- med kortspil og legetøj
- med kortspil og legetøj Dette hæfte er udarbejdet af Karina Pihl Færk og Maria Grove Christensen og tiltænkt FAMILIEMATEMATIK som inspiration til hyggelige matematiske spil og aktiviteter for 0.-2. årgangs
Læs mereMandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard
Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er
Læs mereSpil og lege. Kaste Torshammer I denne leg skal man kaste til måls. Det minder lidt om kongespillet. Et antal figurer fx 9 stilles op
Spil og lege Troldehoved Stil jer i en kreds med hinanden i hånden. Inde i kredsen lægges et reb, så det danner en cirkel lidt mindre end deltagerkredsen. Det er troldehovedet. Nu gælder det om at hive
Læs mere3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder
3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive
Læs mereNordisk Matematikkonkurrence Danmarks Matematiklærerforening Skoleåret 2010-2011 Opgaver ved semifinalen
Opgave 1 Sum af produkter i en trekant Antag at der i et koordinatsystem er en trekant hvis vinkelspidser ligger i punkterne ( 2, 1), (3, 3) og (4, 3). Find alle de punkter inden i trekanten hvis koordinater
Læs mereOM DET UENDELIGT SMAA OG DET UENDELIGT STORE I MATHEMATIKKEN (FRIT EFTER GEORG BRANDES 1869)
OM DET UENDELIGT SMAA OG DET UENDELIGT STORE I MATHEMATIKKEN (FRIT EFTER GEORG BRANDES 869) Mogens Esrom Larsen 29. august 20 Institut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Københavns Universitet Allerede
Læs mereKÆNGURUEN 2015. International matematikkonkurrence. Del 1. 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger.
2015 60 minutter Navn og klasse Del 1 3 point pr. opgave 1. A 6 B 7 C 8 D 10 E 15 2. Erik har 10 ens metalstænger. Han skruer dem sammen to og to og får fem metalstænger. Hvilken stang er længst? A A B
Læs mereSpillet om verdensherredømmet
Spillet om verdensherredømmet 2004 Hasbro. Alle rettigheder forbeholdt. Distributed in the Nordic region by Hasbro Nordic, Ejby Industrivej 40, DK-2600 Glostrup, Denmark. www.hasbro.dk 040414538108 K O
Læs mereSpillebeskrivelse. Rev. Spillehallen.dk. Compu-Game A/S, Randersvej 36, DK 6700 Esbjerg Tlf.: 76 10 98 00 Fax: 76 10 98 98
Spillebeskrivelse Rev. Spillehallen.dk Compu-Game A/S, Randersvej 36, DK 6700 Esbjerg Tlf.: 76 10 98 00 Fax: 76 10 98 98 INDHOLDSFORTEGNELSE: 1. GENERELT OM THORS HAMMER 3 2. GEVINSTTAVLEN 4 3. VALGFRIT
Læs mereVi har hørt, at alt det der er sort igen kan blive hvidt. Det er kun Jesus som kan gøre det. I biblen læser vi, at alt igen kan blive hvidt som sne.
Post 1 Guld er meget værdifuldt. I Guds øjne er vi noget fantastisk værdifuldt. Vi er faktisk meget mere værd for ham end guld! I bibelen står der:.du er dyrebar i mine øjne, højt agtet, og jeg elsker
Læs mereSpillets formål og opsætning
Steffen Benndorf og Reinhard Staupe Kun for sjov! Spillere: 2-6 Alder: 8 år og op Spilletid: ca. 15 minutter Spillets formål og opsætning Hver spiller for sit eget ark papir (der er seks forskellige ark)
Læs mereNiveau 1 Dracula, heksen og dragen venter på at prinsen skal komme nærmere, så de kan pågribe ham og tilintetgøre ham.
1 THE MAZE Deltagerne i dette spil skal inddeles i direkte og indirekte deltagere. Spillet vil være meget underholdende og der skal være to hold(indirekte deltagere), som repræsenteres af to personer/hovedrolleindehavere(direkte
Læs mereKOPIARK. Format 2.klasse Kopiside
KOPIARK Format 2.klasse Kopiside nr. 1 Stranden Strimler til at skrive navne i. A4 A3 Format 3. klasse Kopiark Elevbog side 5 Format bh. kl. Alinea Kopiark Elevbog side 7 Stranden nr. 2 Søjler til registrering
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereQIANBALL DOUBLE REGLER REGLER FOR QIANBALL DOUBLE KAMPE. KFUMs Idrætsforbund.
KFUMs IDRÆTSFORBUND PRÆSENTERER REGLER FOR QIANBALL DOUBLE KAMPE Sidste års medalje vindere. Udarbejdet af KFUMs Idrætsforbund. KFUMs IDRÆTSFORBUND Revideret januar 2008. Danske double spilleregler for
Læs mereLæs selv om KORTTRICKS. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana
Læs selv om KORTTRICKS Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Læs selv om KORTTRICKS Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Korttricks 3 Magi eller matematik? Findes magi? Kan en tryllekunstner
Læs mereKvadratet (1) Hvid trækker
(1) Bondens kvadrat dannes af fire hjørner. Bondens eget felt (h6) er det første hjørne, bondens forvandlingsfelt er det næste (h1), hvorefter de to sidste hjørner bliver (c6 og c1), da der jo er tale
Læs mereMattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed
Mattip om Statistik Du skal lære om: Faglig læsning Kan ikke Kan næsten Kan Chance og risiko Sandsynlighed Observationer, hyppighed og frekvens Gennemsnit Tilhørende kopier: Statistik, og mattip.dk Statistik
Læs mereLille Georgs julekalender 06. 1. december
1. december Hvad skal der stå på den tomme plads? 11001-10101 - 10011 10111-11011 - 11101 11000-10100 - Svar: 10010 Forklaring: Ydercifrene forbliver de samme. Ciffer nr. rykker mød højre ved først at
Læs mereInternational matematikkonkurrence
60 minutter Navn og klasse 3 point pr. opgave Hjælpemidler: papir og blyant 1 Hvilket trafikskilt har flest symmetriakser? D 2 På Lisas køleskab holdes nogle postkort fast af 8 stærke magneter. magnet
Læs mereLærervejledning. Beskriv ideen med spillet i plenum, herunder dets funktion og de tre vigtigste pointer med spillet:
Lærervejledning Få ord på trafikken! Har jeres skole en trafikpolitik? Hvis ikke, kan et spil TrafikPanik være det første skridt. Her kan du læse om spillet, og hvordan du bruger det i trafikundervisningen.
Læs mereIdrætsdagsmappe 2015
Idrætsdagsmappe 2015 I denne idrætsdagsmappe får I udleveret: Vejledning til dagen. Beskrivelse af samtlige discipliner med regler, antal deltagere osv. Vejledning til idrætsdag d.11.9 2015 Dagen nærmer
Læs mereBrøk Laboratorium. Varenummer 72 2459
Brøk Laboratorium Varenummer 72 2459 Leg og Lær om brøker Brøkbrikkerne i holderen giver brugeren mulighed for at sammenligne forskellige brøker. Brøkerne er illustreret af cirkelstykker som sammenlagt
Læs merehttp://192.168.1.217/www.nelostuote.fi/tanska/verdensregler.html
1 / 8 25.6.2008 9:24 2 / 8 25.6.2008 9:24 Indhold: Spilleplade, 30 brikker. 6 i hver farve, 200 kort (191 flagkort, 8 jokerkort, 1 verdenskort), Svarhæfte til Joker spørgsmål, Regler Formål med spillet
Læs mereLille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?
1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere
Læs mere10 + SPILLET OM VERDENSHERREDØMMET 2-4. www.hasbro.dk
SPILLET OM VERDENSHERREDØMMET 2006 Hasbro. Alle rettigheder forbeholdt. Distributed in the Nordic region by Hasbro Nordic, Ejby Industrivej 40, 2600 Glostrup. www.hasbro.dk Made in Ireland 120614575108
Læs mereStatistik og sandsynlighed
Statistik og sandsynlighed Statistik handler om at beskrive og analysere en stor mængde data. som I eller andre har indsamlet. Det kan fx være tal, der fortæller om, hvor mange lynnedslag der er i Danmark
Læs mereSjov med pizza-stykker
Sjov med pizza-stykker Første gang eleverne får materialet i hånden, bør de have tid til selv at undersøge det, så de bliver fortrolige med de forskellige dele. Det kan også være en god idé at lade eleverne
Læs mereUsædvanlige opgaver Lærervejledning
Mette Hjelmborg Usædvanlige opgaver Lærervejledning Gyldendal Usædvanlige opgaver, lærervejledning af Mette Hjelmborg 008 Gyldendalske boghandel, Nordisk Forlag A/S, København Forlagsredaktion: Stine Kock,
Læs mereBasisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen.
Abacus Dette program er en elektronisk udgave af en kugleramme. Man kan flytte en kugle eller en gruppe af kugler ved at klikke på en af kuglerne. Hvis man klikker på Nulstil, vender alle kuglerne tilbage
Læs mereIndhold: Spillebræt 5 hære med 40 infanteri-, 12 kavaleri- og 8 artillerienheder i hver 43 kort 2 referencekort 5 terninger
REGLER FOR 2 TIL 5 SPILLERE, FRA 10 ÅR S P I L L E T O M V E R D E N S H E R R E D Ø M M E T 2010 Hasbro. Alle rettigheder forbeholdt. Produceret af: Hasbro SA, Route de Courroux 6, 2800 Delemont CH Repræsenteret
Læs mere1 mod 1 - træningsøvelser
1 mod 1 - træningsøvelser 1 mod 1 - Frontalt med to mål Beskrivelse / formål: Blå spiller afleverer bolden til Rød spiller. Blå spiller bliver derefter forsvarsspiller, mens Rød spiller bliver angriber.
Læs mereBaggrundsnote om logiske operatorer
Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første
Læs mereLille Georgs julekalender 2010. 1. december
1. december I hver af de øverste bokse skal der skrives et af tallene 1, 2, 3,..., 9. Alle tre tal skal være forskellige. I de næste bokse skrives de tal der fremkommer ved at man lægger sammen som vist.
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereZhezz. Spillevejledning
Zhezz Spillevejledning Et bræt opdelt i 264 felter og klodser som gør det muligt fra brættets midte, at opbygge flere felter i en ny dimension og lave et 3D landskab. 1 Zhezz Spillets profil En anderledes
Læs mereRegler for aktiviteter til Sportsdag 2019 i Business Park Skejby
Regler for aktiviteter til Sportsdag 2019 i Business Park Skejby 5-personers mix-fodbold 7-mands herrefodbold Badminton Beachvolley Bordtennis Floorball Crossløb (10x1,5 km, min. 2 pers., mix) Tovtrækning
Læs mereLinjespillet. Figurer. Format6. Nr. 18. Kopiark til elevbog side 16
Nr. 18 Linjespillet Farv højde Farv linje Farv linjestykke Farv halvlinje Farv en parallel linje Farv en vinkelret linje Par- eller gruppeaktivitet. Kast på skift en 6-sidet terning. Vælg en farve hver.
Læs mereInvarianter og kombinatoriske beviser
Invarianter og kombinatoriske beviser Anders Nedergaard Jensen Institut for Matematik, Aarhus Universitet Matematiklærerdag, Aarhus, 24. Marts 2017 En invariant er en værdi/udsagn der forbliver konstant
Læs mereØvelser til forhånd og baghånd
Øvelser til forhånd og baghånd Forhånd og baghånd kan integreres i de fleste øvelser. Her er en masse øvelser, som giver mulighed for at lege forhånd og baghånd ind. En øvelse har altid et fagligt formål,
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mere2. juni Solitaire spilles med pinde, der pa gurerne er angivet som sorte pletter. Der
SOLITAIRE 2. juni 2003 Mogens Esrom Larsen Indledning. Solitaire spilles med pinde, der pa gurerne er angivet som sorte pletter. Der kan sta en eller ingen pind i et felt, som pa guren er angivet som et
Læs mere