Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.

Transkript

1 Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion. 2. Hvis y = 0, fremkommer en andengradsligning: 0 = ax 2 + bx + c Parablens nulpunkter En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder. En parabels nulpunkter kan findes ved grafisk løsning på millimeterpapir eller ved hjælp af formlen: x = b b ± 4ac 2a b 2 4ac kaldes diskriminanten (D). a) Hvis D er positiv, har ligningen 2 løsninger. b) Hvis D = 0, har ligningen 1 løsning c) Hvis D er negativ, har ligningen ingen løsninger. a) 2 løsninger b) 1 løsning c) Ingen løsninger mx cdr Eksempel på beregning af en parabels nulpunkter Y = 2x x x = ± 4 2 ( 48) = ± = ± Parablen skærer x-aksen i x = 3 og x = 8 Industriens Forlag mx066.fm

2 Parablens toppunkt Parablens toppunkt findes ved grafisk løsning eller ved hjælp af formlen (x,y) = b, D 2a 4a Toppunktet er det punkt, hvor parablen har sin største eller mindste værdi, alt efter om parablen vender»grenene«nedad eller opad. Parablens symmetriakse Den linie, der går gennem parablens toppunkt parallelt med y-aksen, er parablens symmetriakse. Symmetriaksen går altså gennem punktet b 2a Parablens skæring med y-aksen Parablens skæring med y-aksen findes ved at sætte x = 0 Industriens Forlag - mx066.fm

3 Opgaver Tegn følgende parabler (med formlen y = ax 2 ): 1. y = 0,5x 2 2. y = 0,5x 2 Tegn følgende parabler (med formlen y = ax 2 + c): 3. y = 0,5x y = 0,5x Tegn følgende parabler (med formlen y = ax 2 + bx + c): 5. y = 0,5x 2 2x 2 6. y = 0,5x 2 + 2x 2 7. Hvilken betydning har det for parablen, om a er positiv eller negativ? 8. Hvad danner symmetriakse i opgave 1, 2, 3 og 4? Find nul- og toppunkter for følgende funktioner: 9. y = 2x 2 2x y = 0,5x 2 4x y = x 2 4x y = x 2 + 4x y = 0,5x 2 3x y = 4x 2 + 4x Hvilken betydning har det for parablen, om a er et stort eller et lille tal? 16. y = x 2 + 4x y = x 2 + 6x y = x 2 + 4x 19. y = x 2 + 3x y = x 2 5x y = 2x 2 8x y = x 2 + 6,5x 3,5 23. y = x 2 x 24. y = 2x 2 + 2x y = 3x 2 7x y = x 2 + 3x 2 Industriens Forlag mx066.fm

4 B S1 S2 A C mx cdr 2,5 m 3,5 m 27. I en parabelbuet afstivning skal der placeres 2 støtter (S1 og S2). Hvis du sætter A = (0,0) og bruger AC som x-akse, kan parabelbuen beskrives med funktionen y = 0,5x 2 + 6x. a. Beregn afstanden AC. b. Beregn afstanden mellem AC og B (højden). c. Beregn længden af støtterne (S1) og (S2). A B C D Kabel Støtteben 1 m mx cdr Jord 28. Et kabel skal ophænges på nogle støtteben. Når kablet er ophængt, vil det hænge i parabelbuer, der kan beskrives med formlen y = 0,5x 2 4x, hvis AB regnes som x-akse og A = (0,0). En cm på papiret svarer til 1 m i virkeligheden. a. Beregn støttebenenes længde (over jorden). b. Beregn afstanden mellem 2 støtteben. Industriens Forlag - mx066.fm

5 Brudstyrke Brudstyrken i tovværk kan beregnes ved hjælp af formlen y = 11x 2. y = brudstyrken i kg x = tovets diameter 29. Afbild funktionen i et koordinatsystem. a. Hvor stor er brudstyrken i et 10 mm tov? b. Hvor stor en diameter skal et tov have for at bære 150 kg? c. Bestem diameteren i et tov med brudstyrken 1 ton. d. Hvor mange gange forøges brudstyrken, hvis tovets diameter fordobles? Boldkanon 30. Ved et sportsstævne skal der anvendes en boldkanon, der, når den er placeret i den rigtige vinkel, skyder boldene op i en parabelbue (y = 2x x). Stævnehallen er 20 m høj indvendig. a. Tegn parablen på millimeterpapir, hvor 1 cm på papiret svarer til 1 m i virkeligheden. (Gulvets placering: y = 0). b. Kan boldene affyres uden at ramme loftet? c. Hvis ja, hvor langt fra boldkanonen lander boldene så? Vindmodstand Den vindmodstand, en person i løb udsættes for, kan beregnes efter formlen y = x 2 0, 275 y = vindmodstanden x = farten i m/s 31. a. Tegn et billede af funktionen i et koordinatsystem (2 m/s = 10 mm på x-aksen og 1 enhed vindmodstand = 10 mm på y-aksen). b. Hvor mange gange forøges vindmodstanden, hvis farten fordobles? c. En meget hurtig løber klarer 100 m på 10 sekunder. Beregn vindmodstanden. Industriens Forlag mx066.fm

6 Skæringspunkter mellem en parabel og en ret linie Funktionen y = 2x 2 6x kan også skrives som f(x) = 2x 2 6x. Skæringspunkterne mellem parablen f(x) = 2x 2 6x og den rette linie y = x + 3 kan løses på 2 måder. 1. Grafisk løsning Tegn først parablen f(x) = 2x 2 6x og den rette linie y = x + 3 i samme koordinatsystem. Aflæs derefter skæringspunkterne. 2. Beregning Parablen f(x) og den rette linie (y) sættes lig med hinanden. f(x) = y 2x 2 6x = x + 3 0= 2x 2 + 7x + 3 Der fremkommer herved en andengradsligning. a. Løs først andengradsligningen (find først x-koordinaterne til skæringspunkterne). Løsning x = 0,5 og x = 3 b. Find derefter de tilsvarende y-koordinater (ved at indsætte de fundne x-værdier i de oprindelige funktioner). Løsning (x, y) = ( 0,5, 2,5) og (x, y) = ( 3, 0) Opgaver 32. Afbild parablen(f(x) = x 2 6x + 5) og linien (y = 5 2x) i samme koordinatsystem. a. Aflæs skæringspunkterne. b. Løs ligningen f(x) = y, og beregn koordinaterne til skæringspunkterne. 33. Tegn linien y = 3 x og parablen f(x) = x 2 8x 13 i samme koordinatsystem. Løs derefter ligningen 3 x = x 2 8x 13 Industriens Forlag - mx066.fm